Теорема Фробениуса — Перрона

Теорема Фробениуса — Перрона (англ.):

Пусть $A$ — квадратная матрица, со строго положительными вещественными элементами, тогда справедливы утверждения:

• наибольшее по модулю собственное значение $r$ является вещественным и строго положительным;
• это собственное значение является простым корнем характеристического многочлена;
• соответствующий $r$ собственной вектор имеет строго положительные координаты;
• собственное значение $r$ удовлетворяет неравенствам.

$\min_i\sum_j a_{ij}\leqslant r\leqslant\max_i\sum_j a_{ij}.$

Литература

• Perron, Oskar (1907), "«Zur Theorie der Matrices»", Mathematische Annalen Т. 64 (2): 248–263, DOI 10.1007/BF01449896 
• Frobenius, Georg (1912), "«Ueber Matrizen aus nicht negativen Elementen»", Sitzungsber. Königl. Preuss. Akad. Wiss.: 456–477 
• Frobenius, Georg (1908), "«Über Matrizen aus positiven Elementen, 1»", Sitzungsber. Königl. Preuss. Akad. Wiss.: 471–476 
• Frobenius, Georg (1909), "«Über Matrizen aus positiven Elementen, 2»", Sitzungsber. Königl. Preuss. Akad. Wiss.: 514–518 
• Гантмахер Ф.Р. Теория матриц, — М.: Наука 1966, 576с.