Теорема Хелли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Хелли — классический результат комбинаторной геометрии и выпуклого анализа.

Предположим, что

X_1,X_2,\dots,X_n

есть конечное семейство выпуклых подмножеств евклидова пространства \R^d, такое что пересечение любых d+1 из них непусто.

Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто, то есть

\bigcap_{j=1}^n X_j\ne\emptyset.

Для бесконечных семейств необходимо дополнительно потребовать компактность:

Пусть \{X_\alpha\} есть произвольное семейство выпуклых компактных подмножеств \mathbb R^d, такое что пересечение любых d+1 из них непусто. Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто.


Следствия[править | править вики-текст]

  • Теорема Юнга: Пусть S есть конечное множество точек в d-мерном евклидовом пространстве \R^d такое, что любые d+1 точек из S можно накрыть единичным шаром. Тогда и всё множество S можно накрыть единичным шаром.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

История[править | править вики-текст]

Теорема была доказана Эдуардом Хелли в 1913, о чём он рассказал Радону, опубликовал он её только в 1923[1], уже после публикаций Радона[2] и Кёнига[3].

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Данцер Л., Грюнбаум Б., Кли В. Теорема Хелли и ее применения. Перев. с англ. — М.: Мир, 1968. — 159 с. — библ.: с.с. 128—156.
  1. E. Helly Über Mengen konvexer Körper mit gemeinschaftlichen Punkten, — Jber. Deutsch. Math. Vereinig. 32 (1923), 175—176.
  2. J. Radon Mengen konvexer Körper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten, — Math. Ann. 83 (1921), 113—115.
  3. D. König Über konvexe Körper, — Math. Z. 14 (1922), 208—220.