Теорема Хеллингера — Тёплица

Теорема Хеллингера — Тёплица — результат функционального анализа, устанавливающий ограниченность симметрического оператора в гильбертовом пространстве.

Формулировка

Пусть $H$ — гильбертово пространство. Если для линейного оператора $A:\,H\to H$ существует линейный оператор $B:\,H\to H$, удовлетворяющий условию $(Ax,y)=(x,By)\;\forall x,y\in H$, то оператор $A$ является ограниченным.

В частности, ограниченным является любой симметрический оператор, заданный на всем пространстве, то есть линейный оператор, удовлетворяющий условию $(Ax,y)=(x,Ay)\;\forall x,y\in H$.

Замечания

Существенным условием теоремы является условие определённости оператора на всём гильбертовом пространстве.

Следствия

• Всякий симметрический оператор, определённый на всём гильбертовом пространстве, является самосопряжённым.
• Самосопряжённый неограниченный оператор не может быть определён на всём гильбертовом пространстве.