Разложение Холецкого

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Разложение Холецкого — представление симметричной положительно-определённой матрицы $A$ в виде $A = L L T$ (или $A = U T U$ , $U = L T$ ), где $L$ — нижняя треугольная матрица со строго положительными элементами на диагонали. Разложение Холецкого всегда существует и единственно для таких матриц $A$ .

Этот вид разложения может применяться для численного решения системы линейных уравнений $A x = b$ , если матрица $A$ симметрична и положительно-определена. Выполнив разложение $A = L L T$ , решение $x$ получается последовательным решением двух треугольных систем уравнений: $L y = b$ и $L T x = y$ . Такой способ решения иногда называется методом квадратных корней. По сравнению с более общими методами, такими как метод Гаусса или LU-разложение, он устойчивее численно и требует примерно вдвое меньше арифметических операций.

Существует также обобщение этого разложения на случай комплекснозначных матриц. Если $A$ — положительно-определённая эрмитова матрица, то существует разложение $A = L L *$ , где $L$ — нижняя треугольная матрица, а $L *$ — её эрмитово дополнение.