Теорема вращения Эйлера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема вращения Эйлера утверждает, что любое вращение трёхмерного пространства имеет ось.

Таким образом, вращение может быть описано тремя координатами: двумя координатами оси вращения (например, широта и долгота) и углом поворота.

Для заданного единичного вектора n и угла \varphi обозначим R(\varphi,n) вращение в направлении вектора n против часовой стрелки на угол \varphi. Тогда:

Для любого вращения существует единственный угол \varphi, для которого 0 \le \varphi \le \pi, при этом:

  • n определяется однозначно, если 0 < \varphi < \pi;
  • n любое, \varphi = 0;
  • n определяется однозначно с точностью до знака, если \varphi = \pi (то есть, вращения R(\varphi,\pm n) одинаковы).

Геометрия группы вращений[править | править вики-текст]

Представление Эйлера позволяет исследовать топологию группы вращений трёхмерного пространства SO(3). Для этого рассмотрим шар с центром в начале координат с радиусом π.

Любое вращение на угол, меньший π, задаёт единственную точку внутри шара (направление задаёт направление оси вращения, а угол задаёт расстояние от начала координат). Вращение на угол π соответствует двум противоположным точкам на поверхности сферы.

Таким образом, шар с отождествлёнными противоположными точками сферы гомеоморфен группе вращений пространства SO(3).

См. также[править | править вики-текст]