Теорема де Гуа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Иллюстрация теоремы де Гуа

Теоре́ма де Гуа — одно из обобщений теоремы Пифагора на старшие размерности.

Высечем из куба пирамиду, отрезав плоскостью одну из его вершин. Тогда для такой пирамиды верно следующее соотношение: квадрат площади грани противолежащей вершине куба (вершине при прямом угле) равен сумме квадратов площадей граней прилежащих к этому углу (см. рисунок).

S_{ABC}^2 = S_{ABD}^2 +S_{BDC}^2+S_{ADC}^2.\

Иными словами, если мы заменим плоский прямой угол трехмерным, отрезки — гранями, а треугольник — пирамидой, то теорема снова окажется верна, но не для длин сторон, а для площадей граней полученной пирамиды.

Существует обобщение этой теоремы для N-мерного пространства[1].

О доказательстве[править | править вики-текст]

Доказательство 1[править | править вики-текст]

Выразим ребра DA, DB и DC прямоугольного тетраэдра через единичные координатные векторы \vec e_1, \vec e_2 и \vec e_3[1]:

DA = a \vec e_1;  \quad DB = b \vec e_2;  \quad DC = c \vec e_3,

где ~a, b, c — длины соответствующих сторон тетраэдра.

Для векторов AB и АС имеем:

AB = b \vec e_2 - a \vec e_1;  \quad  AC = c \vec e_3 - a \vec e_1.

Поскольку площадь треугольника равна половине векторного произведения двух его сторон,

S_{ABC} = \frac{1}{2}(b \vec e_2 - a \vec e_1) \times (c \vec e_3 - a \vec e_1).

Возведя последнее выражение в квадрат и раскрыв скобки c учётом того, что попарные векторные произведения единичных координатных векторов равны единице, получим

S^2_{ABC} = \frac{1}{4}(a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2).

Площади граней ABD, ACD и BCD равны

S_{ABD} = \frac{ab}{2}; \quad  S_{ACD} = \frac{ac}{2};  \quad S_{BCD} = \frac{bc}{2},

откуда

S^2_{ABC} = S^2_{ABD} + S^2_{ACD} + S^2_{BCD}.

Доказательство 2[править | править вики-текст]

Известно, что площадь проекции плоской фигуры на некоторую плоскость равна площади этой фигуры, умноженной на косинус двугранного угла между фигурой и плоскостью проекции[2]. Проекциями треугольника ABC на координатные плоскости являются треугольники ABD, ACD и BCD. Поэтому

~S_{ABD} = S_{ABC} \cos \alpha ; \quad S_{ACD} = S_{ABC} \cos \beta ; \quad S_{BCD} = S_{ABC} \cos \gamma,

где ~\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma — напрявляющие косинусы нормали к плоскости ABC.

Согласно свойству направляющих косинусов

~\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1,

откуда

~S^2_{ABC} = S^2_{ABC} \cos^2 \alpha + S^2_{ABC} \cos^2 \beta + S^2_{ABC} \cos^2 \gamma

и

S^2_{ABC} = S^2_{ABD} + S^2_{ACD} + S^2_{BCD}.

Доказательство 3[править | править вики-текст]

Теорема может быть доказана из формулы Герона для площади треугольника и теоремы Пифагора.

История[править | править вики-текст]

В 1783 году теорема была представлена Парижской академии наук французским математиком Ж.-П. де Гуа (фр.), однако ранее она была известна Рене Декарту[3] и до него Иоганну Фульгаберу (англ.), который, вероятно, первым открыл ее в 1622 году[4]. В более общем виде теорему сформулировал Шарль Тинсо (фр.) в докладе Парижской академии наук в 1774 году[4]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Sergio A. Alvarez Note on an n-dimensional Pythagorean theorem.
  2. Osgood, W. F. and Graustein, W. C. Plane and Solid Analytic Geometry. New York: Macmillan, Th. 2, p. 517, 1930.
  3. Descartes, R. Œuvres inédites de Descartes. Paris, 1859.
  4. 1 2 Altshiller-Court, N. Modern Pure Solid Geometry. New York: Chelsea, pp. 92 and 300, 1979.

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Weisstein, Eric W. de Gua's theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Amir-Moéz, A.R.; Byerly, R.E. Pythagorean theorem in unitary spaces. — Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat., 7 (1996), 85–89.
  • Cho, E.C. Pythagorean theorems on rectangular tetrahedron. — Appl. Math. Lett., vol. 4 (1991), no. 6, 37–38.
  • Czyżewska, K. Generalization of the Pythagorean theorem. — Demonstratio Math., vol. 24 (1991), no. 1-2, 305–310.
  • Lin, S-Y T.; Lin, Y-F. The n-Dimensional Pythagorean Theorem. — Linear and multilinear algebra, vol. 26, no. 1/2, 1990
  • Yoshinaga, E.; Akiba, S. Very simple proofs of generalized Pythagorean theorem. — Sci. Rep. Yokohama Nat. Univ. Sect. I Math. Phys. Chem., No. 42 (1995), 45–46.
  • Peter Wakefield Sault A 3D analogue of Phythagoras's theorem.
  • Istvan Meder Pythagorean Theorem in the n-dimensional space
  • P. S. Donchian and H. S. M. Coxeter An n-dimensional extension of Pythagoras’ Theorem. Math. Gazette, 19:206, 1935.
  • J.-P. Quadrat, J. B. Lassere, and J.-B. Hiriart-Urruty Pythagoras’ theorem for areas. American Mathematical Monthly, 108:549–551, 2001.