Теорема косинусов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Triangle with notations 2.svg

Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора.

Для плоского треугольника со сторонами a, b, c и углом \alpha, противолежащим стороне a, справедливо соотношение:

 a^2 = b^2 + c^2 - 2\cdot b \cdot c \cdot \cos \alpha .

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними[1]


Следствие из теоремы косинусов[править | править вики-текст]

  • Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника
    \cos{\alpha} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
В частности,
  • Если  b^2 + c^2 - a^2 > 0, угол α — острый
  • Если  b^2 + c^2 - a^2 = 0, угол α — прямой (если угол α прямой, то теорема косинусов переходит в Пифагора теорему)
  • Если  b^2 + c^2 - a^2 < 0, угол α — тупой

История[править | править вики-текст]

Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги «Начал» Евклида.

Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях математиков стран Средней Азии. Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал Региомонтан, назвав её «теоремой Альбатегния» (по имени ал-Баттани).

В Европе теорему косинусов популяризовал Франсуа Виет в XVI столетии. В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Для евклидовых нормированных пространств[править | править вики-текст]

Пусть в евклидовом пространстве E задана норма, ассоциированная со скалярным произведением, то есть \left\Vert \vec{a} \right\Vert = \sqrt{(\vec{a}, \vec{a})}. Тогда теорема косинусов формулируется следующим образом:

Теорема.
\left\Vert \vec{a}-\vec{b} \right\Vert^2 = \left\Vert \vec{a} \right\Vert ^2 + \left\Vert \vec{b} \right\Vert ^2 - 2(\vec{a},\vec{b})


Четырёхугольник[править | править вики-текст]

Возводя в квадрат тождество \overline{AD}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD} можно получить утверждение, иногда называемое теоремой косинусов для четырёхугольников:

d^2=a^2+b^2+c^2-2ab\cos\angle B-2ac\cos\omega-2bc\cos\angle C, где \omega — угол между прямыми AB и CD.

Или иначе:

d^2=a^2+b^2+c^2-2ab\cos\angle B+2ac\cos(\angle A+\angle D)-2bc\cos\angle C

Симплекс[править | править вики-текст]

S_i S_j \cos\angle A = \frac{(-1)^{(n-1+i+j)}}{2^{n-1} ((n-1)!)^2} \begin{vmatrix}
0 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\
1 & 0 & d_{12}^2 & d_{13}^2 & \dots & d_{1n}^2 \\
1 & d_{21}^2 & 0 & d_{23}^2 & \dots & d_{2n}^2 \\
1 & d_{31}^2 & d_{32}^2 & 0 & \dots & d_{3n}^2 \\
\vdots&\vdots&\vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\
1 & d_{n1}^2 & d_{n2}^2 & d_{n3}^2 & \dots & 0 \\
\end{vmatrix}

при этом мы должны зачеркнуть строку и столбец, где находится d_{ij} или d_{ji}.

A — угол между гранями S_i и S_j , S_i -грань, находящаяся против вершины i ,d_{ij}- расстояние между вершинами i и j.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Геометрия 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. - 15-е изд. - М.: Просвещение, 2005. - с. 257. - 384 с.: ил. - ISBN 5-09-014398-6