Теорема косинусов

Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора:

Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом α, противолежащим стороне a, справедливо соотношение: $a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \alpha$.

История

Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги «Начал» Евклида.

Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях математиков стран Средней Азии. Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал Региомонтан, назвав её «теоремой Альбатегния» (по имени ал-Баттани).

В Европе теорему косинусов популяризовал Франсуа Виет в XVI столетии. В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

Доказательство  

Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опущена высота CD. Из треугольника ADC следует:

AD = bcos α,

DB = c − bcos α

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

$h^2 = b^2 - (b \cos \alpha)^2 \qquad \qquad \qquad(1)$

$h^2 = a^2 - (c - b \cos \alpha)^2 \qquad \qquad (2)$

Приравниваем правые части уравнений (1) и (2) и:

b² − (bcos α)² = a² − (c − bcos α)²

или

a² = b² + c² − 2bccos α.

Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.

Выражения для сторон b и c:

b² = a² + c² − 2accos β

c² = a² + b² − 2abcos γ.

Вариации и обобщения

• Теоремы косинусов (сферическая геометрия) или Теорема косинусов для трехгранного угла.
• Теоремы косинусов (геометрия Лобачевского)

Четырёхугольник

Возводя в квадрат тождество $\overline{AD}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}$ можно получить утверждение, иногда называемое теоремой косинусов для четырёхугольников:

$d^2=a^2+b^2+c^2-2ab\cos\angle B-2ac\cos\omega-2bc\cos\angle C$, где ω — угол между прямыми AB и CD.

Или иначе:

$d^2=a^2+b^2+c^2-2ab\cos\angle B+2ac\cos(\angle A+\angle D)-2bc\cos\angle C$

Симплекс

$S_i S_j \cos\angle A = \frac{(-1)^{(n-1+i+j)}}{2^{n-1} ((n-1)!)^2} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 0 & d_{12}^2 & d_{13}^2 & \dots & d_{1n}^2 \\ 1 & d_{21}^2 & 0 & d_{23}^2 & \dots & d_{2n}^2 \\ 1 & d_{31}^2 & d_{32}^2 & 0 & \dots & d_{3n}^2 \\ \vdots&\vdots&\vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\ 1 & d_{n1}^2 & d_{n2}^2 & d_{n3}^2 & \dots & 0 \\ \end{vmatrix}$

при этом мы должны зачеркнуть строку и столбец, где находится d_ij или d_ji.

A — угол между гранями S_i и S_j , S_i -грань, находящаяся против вершины i ,d_ij- расстояние между вершинами i и j.

См. также

• Теорема синусов
• Теорема тангенсов
• Теорема котангенсов
• Скалярное произведение
• Соотношение Бретшнайдера
• Сферическая теорема косинусов
• Теорема косинусов для трехгранного угла

Литература

• Понарин Я.П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 84-85. — ISBN 5-94057-170-0.