Теорема косинусов
Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора:
|
Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом α, противолежащим стороне a, справедливо соотношение:
|
Содержание |
[править] История
Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги «Начал» Евклида.
Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях математиков стран Средней Азии. Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал Региомонтан, назвав её «теоремой Альбатегния» (по имени ал-Баттани).
В Европе теорему косинусов популяризовал Франсуа Виет в XVI столетии. В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.
Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опущена высота CD. Из треугольника ADC следует:
- AD = bcos α,
- DB = c − bcos α
Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:
Приравниваем правые части уравнений (1) и (2) и:
- b2 − (bcos α)2 = a2 − (c − bcos α)2
или
- a2 = b2 + c2 − 2bccos α.
Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.
Выражения для сторон b и c:
- b2 = a2 + c2 − 2accos β
- c2 = a2 + b2 − 2abcos γ.
[править] Вариации и обобщения
- Теоремы косинусов (сферическая геометрия) или Теорема косинусов для трехгранного угла.
- Теоремы косинусов (геометрия Лобачевского)
[править] Четырёхугольник
Возводя в квадрат тождество
можно получить утверждение, иногда называемое теоремой косинусов для четырёхугольников:
, где ω — угол между прямыми AB и CD.
Или иначе:
[править] Симплекс
при этом мы должны зачеркнуть строку и столбец, где находится dij или dji.
A — угол между гранями Si и Sj , Si -грань, находящаяся против вершины i ,dij- расстояние между вершинами i и j.
[править] См. также
- Теорема синусов
- Теорема тангенсов
- Теорема котангенсов
- Скалярное произведение
- Соотношение Бретшнайдера
- Сферическая теорема косинусов
- Теорема косинусов для трехгранного угла
[править] Литература
- Понарин Я.П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 84-85. — ISBN 5-94057-170-0.
.

, где 
