Теорема косинусов
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Теорема косинусов — обобщение теоремы Пифагора. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
|
Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом α противолежащему стороне a справедливо нижеуказанное соотношение
|
Доказательство
Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опущена высота CD. Из треугольника ADC следует:
- AD = bcosα,
- DB = c − bcosα
Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:
Приравниваем правые части уравнений (1) и (2) и:
- b2 − (bcosα)2 = a2 − (c − bcosα)2
или
- a2 = b2 + c2 − 2bccosα.
Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.
Выражения для сторон b и c:
- b2 = a2 + c2 − 2accosβ
- c2 = a2 + b2 − 2abcosγ.
[править] Вариации и обобщения
