Теорема о двух милиционерах

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
(x^2)sin(x^(-1)).png

Теорема о двух милиционерах — теорема в математическом анализе о существовании предела у функции, которая «зажата» между двумя другими функциями, имеющими одинаковый предел. Формулируется следующим образом:

Если функция y=f(x) такая, что \varphi(x)\leqslant f(x)\leqslant\psi(x) для всех x в некоторой окрестности точки a, причем функции \varphi(x) и \psi(x) имеют одинаковый предел при x\to a, то существует предел функции y=f(x) при x\to a, равный этому же значению, то есть

\lim_{x\to a}\varphi(x)=\lim_{x\to a}\psi(x)=A\Rightarrow\lim_{x\to a}f(x)=A.

Также такое название имеет аналогичная теорема о пределе последовательностей, формулирующаяся следующим образом:

Если последовательность a_n такая, что b_n\leqslant a_n\leqslant c_n для всех n,причем последовательности b_n и c_n имеют одинаковый предел при n\to \infty, то существует предел последовательности a_n при n\to \infty, равный этому же значению, то есть

\lim_{n\to \infty}b_n=\lim_{n\to \infty}c_n=A\Rightarrow\lim_{n\to \infty}a_n=A.

Доказательство[править | править вики-текст]

Из неравенства \varphi(x) \leqslant f(x)\leqslant \psi(x) получаем неравенство \varphi(x)-A \leqslant f(x)-A \leqslant \psi(x)-A. Тогда верно неравенство  \left | f(x) - A \right | \leqslant \max(\left | \varphi(x) - A \right |,\left | \psi(x) - A \right |). Условие \lim\limits_{x \to a} \varphi(x)=A=\lim\limits_{x \to a} \psi(x) позволяет предположить, что для любого ~\varepsilon > 0 существует окрестность ~U_a, в которой верны неравенства \left | \varphi(x) - A \right | <  \varepsilon и \left | \psi(x) - A \right | <  \varepsilon. Из изложенной выше оценки максимумом следует, что \left | f(x) - A \right | <  \varepsilon при x \in U_a, что удовлетворяет определению предела, то есть \lim\limits_{x \to a} f(x) = A[1].

Название и зарубежная терминология[править | править вики-текст]

Название теоремы происходит из того факта, что если два милиционера держат между собой преступника и при этом идут в камеру, то заключённый также вынужден туда идти.

В разных странах эта теорема называется по-разному. Теорема сжатия, теорема о промежуточной функции, теорема о двух карабинерах, теорема о сэндвиче (или правило сэндвича), теорема о трёх струнах, теорема о двух жандармах, теорема о двух городовых и пр.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Б.П.Демидович, В.А.Кудрявцев Курс Высшей Математики. — издательство Астрель, 2007. — С. 121-122. — ISBN 5-271-01318-9.

Ссылки[править | править вики-текст]