Теорема о неявной функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема о неявной функции — общее название для теорем, гарантирующих локальное существование и описывающих свойства неявной функции, т. е. функции

y=f(x),   f:X\to Y,

заданной уравнением

F(x,y)=z_0,   F:X\times Y\to Z

и значение z_0\in Z фиксированно.

Одномерный случай[править | править исходный текст]

Простейшая теорема о неявной функции состоит в следующем.

Если функция F:\R\times\R\to\R

тогда найдётся такой двумерный промежуток  I=I_x \times I_y, являющийся окрестностью точки (x_0,y_0), и такая непрерывная функция f:I_x\to I_y, что для любой точки (x,y) \in I

F(x,y) = 0 \Leftrightarrow y = f(x)


Обычно дополнительно предполагается, что функция F непрерывно дифференцируема, в этом случае условие монотонности следует из того, что F_y'(x_0,y_0)\ne0\quad, здесь F_y' обозначает частную производную F по y. Более того, в этом случае производная функции f может быть вычислена по формуле

f'(x) = - \frac{F_x'(x, f(x))}{F_y'(x, f(x))}.

Многомерный случай[править | править исходный текст]

Пусть \R^n и \R^m суть n- и m-мерные евклидовы пространства с фиксированными системами координат, точки которых соответственно x=(x_1,\dots,x_n) и y=(y_1,\dots,y_m). Пусть F отображает некоторую окрестность W точки (x_0,y_0)\in\R^n\times\R^m в пространство \R^m и F_1,F_2,\ldots,F_m — координатные функции (от переменных x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m) отображения F, то есть F=(F_1,F_2,\ldots,F_m).

Предположим, что F(x_0,y_0)=0 и отображение F является k раз непрерывно дифференцируемым в окрестности W, а якобиан отображения y\mapsto F(x_0,y) не равен нулю в точке y_0, т.е. определитель матрицы \frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0) не равен нулю. Тогда существуют окрестности U и V точек x_0 и y_0 соответственно в пространствах \R^n и \R^m, причём U\times V\subset W, и единственное отображение f : U \to V, такие, что для всех x\in U выполняется тождество F(x, f(x)) = 0\,. При этом f(x_0)=y_0 и отображение f является k раз непрерывно дифференцируемым на U.

Литература[править | править исходный текст]

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981;
  • Зорич В. А. Математический анализ, Любое издание.
  • Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965;
  • Никольский С. М. Курс математического анализа, 2 изд., т. 1—2, М., 1975;
  • Шварц Л. Анализ, пер. с франц., т. 1, М., 1972;
  • Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.