Теорема о неявной функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема о неявной функции — общее название для теорем, гарантирующих локальное существование и описывающих свойства неявной функции, т. е. функции

y=f(x),   f:X\to Y,

заданной уравнением

F(x,y)=z_0,   F:X\times Y\to Z

и значение z_0\in Z фиксировано.

Одномерный случай[править | править вики-текст]

Простейшая теорема о неявной функции состоит в следующем.

Если функция F:\R\times\R\to\R

тогда найдётся такой двумерный промежуток  I=I_x \times I_y, являющийся окрестностью точки (x_0,y_0), и такая непрерывная функция f:I_x\to I_y, что для любой точки (x,y) \in I

F(x,y) = 0 \Leftrightarrow y = f(x)


Обычно дополнительно предполагается, что функция F является непрерывно дифференцируемой в окрестности точки (x_0,y_0). В том случае строгая монотонность следует из условия F_y'(x_0,y_0)\ne 0\quad, где F_y' обозначает частную производную F по y. Более того, в этом случае функция f также является непрерывно дифференцируемой, и её производная может быть вычислена по формуле

f'(x) = - \frac{F_x'(x, f(x))}{F_y'(x, f(x))}.

Многомерный случай[править | править вики-текст]

Пусть \R^n и \R^m — пространства с координатами x=(x_1,\dots,x_n) и y=(y_1,\dots,y_m), соответственно. Рассмотрим отображение F=(F_1,\ldots,F_m), F_i = F_i(x,y), которое отображает некоторую окрестность W точки (x_0,y_0)\in\R^n\times\R^m в пространство \R^m.

Предположим, что отображение F удовлетворяет следующим условиямː

Тогда существуют окрестности U и V точек x_0 и y_0 в пространствах \R^n и \R^m соответственно, причём U\times V\subset W, и отображение f : U \to V, f \in C^{k}(U), такие, что

F(x,y) = 0 \Leftrightarrow y = f(x)

для всех x \in U и y \in V. Отображение f определено однозначно.


Естественным обобщением предыдущей теоремы на случай не гладких отображений является следующая теоремаː[1]

Предположим, что отображение F удовлетворяет следующим условиямː

  • F является непрерывным в W,
  • F(x_0,y_0)=0,
  • существуют окрестности U и V точек x_0 и y_0 в пространствах \R^n и \R^m соответственно, причём U\times V\subset W, такие, что для каждого фиксированного x \in U отображение y\mapsto F(x,y) является взаимно однозначным в V.

Тогда существует такое непрерывное отображение f : U \to V, что

F(x,y) = 0 \Leftrightarrow y = f(x)

для всех x \in U и y \in V.


Литература[править | править вики-текст]

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981;
  • Зорич В. А. Математический анализ, Любое издание.
  • Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965;
  • Никольский С. М. Курс математического анализа, 2 изд., т. 1—2, М., 1975;
  • Шварц Л. Анализ, пер. с франц., т. 1, М., 1972;
  • Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Jittorntrum, K. An implicit function theorem. J. Optim. Theory Appl. 25 (1978), no. 4, 575–577.