Теорема о примитивном элементе

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема о примитивном элементе — это результат в теории полей, описывающий условия, при которых конечное расширение поля является простым. Более подробно, теорема о примитивном элементе характеризует расширения конечной степени E\supseteq F, такие что существует примитивный элемент \alpha\in E с E=F[\alpha]=F(\alpha).

Терминология[править | править вики-текст]

Пусть E\supseteq F — произвольное расширение поля. Элемент \alpha\in E называется примитивным элементом для расширения E\supseteq F, если

E=F(\alpha).

Расширения, для которых существует хотя бы один примитивный элемент, называются простыми расширениями. Любой элемент x\in E простого расширения можно записать в виде

x=\frac{f_{n-1}{\alpha}^{n-1}+\cdots+f_1{\alpha}+f_0}{g_{k-1}{\alpha}^{k-1}+\cdots+g_1{\alpha}+g_0} где f_i,g_i\in F, \alpha\in E

Если же, кроме того E\supseteq F сепарабельно и имеет степень n, существует \alpha\in E, такое что множество

\{1,\alpha,\cdots,{\alpha}^{n-1}\}

образует базис E как векторного пространства над F.

Формулировка[править | править вики-текст]

Следующая формулировка теоремы принадлежит Эмилю Артину:

Теорема. Пусть E\supseteq F — конечное расширение поля. Тогда E=F(\alpha) для некоторого \alpha\in E тогда и только тогда, когда число промежуточных полей K вида E\supseteq K\supseteq F конечно.

Из этого утверждения следует более традиционная формулировка теоремы о примитивном элементе:

Следствие. Пусть E\supseteq F — конечное сепарабельное расширение. Тогда E=F(\alpha) для некоторого \alpha\in E.

Это следствие можно немедленно применить к произвольным алгебраическим числовым полям, так как поле \mathbb Q имеет характеристику 0, следовательно, любое его расширение сепарабельно.

Пример[править | править вики-текст]

Далеко не очевидно, что если добавить в \mathbb Q корни многочленов x^2-2 и x^2-3, получив поле \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}) степени 4 над \mathbb{Q}, то существует элемент \gamma \in \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}), через степени которого выражаются как \sqrt 2, так и \sqrt 3. Оказывается, однако, что этому условию удовлетворяет

\gamma = \sqrt{2} + \sqrt{3}

Степени \gamma, \gamma^2, \gamma^3 выражаются как сумма \sqrt 2,\sqrt 3 и \sqrt 2\cdot \sqrt 3 с целыми коэффициентами. Записав соответствующую систему линенйых уравнений, можно выразить из неё \sqrt 2 и \sqrt 3 (например, \sqrt{2} = \scriptstyle\frac{\gamma^3-9\gamma}2) откуда следует, что \gamma является примитивным элементом.

Примечания[править | править вики-текст]