Теорема о 9 точках на кубике

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Иллюстрация к теореме о 9 точках

Теорема о 9 точках на куби́ке — теорема аналитической геометрии, которая гласит, что[1]

Если 8 из 9 точек пересечения двух троек прямых (на рисунке справа — синих и красных) лежат на куби́ке (кривой третьего порядка, чёрной), то девятая тоже лежит на ней.

Доказательство[править | править вики-текст]

Ниже приведено простое доказательство, использующее исключительно факты из школьной программы. Оно состоит из трёх частей: двух лемм и собственно теоремы[1].

Лемма 1[править | править вики-текст]

Если многочлен от двух переменных P\,(x,\,y) в бесконечном числе точек на прямой l:\,ax+by+c=0 принимает нулевое значение, то он делится на уравнение этой прямой, то есть P\,(x,\,y)\,\vdots\,ax+by+c.

Обозначим z\,:=\,ax+by+c. В условии задана прямая, поэтому либо a, либо b не равно 0. Будем считать, что это b, тогда y=\frac{z-ax-c}{b}=S\,(x,z), а P\,(x,\,y)=P\,(x,\,S\,(x,\,z))=F\,(x,\,z)=z\cdot Q\,(x,\,z)+R\,(x). На прямой l:\,z=0 многочлен F\,(x,\,z)=R\,(x)=0, но при этом x может принимать бесконечное число различных значений, поэтому R\,(x)\equiv0, а значит P\,(x,\,y)=F\,(x,\,z)\,\vdots\,z=ax+by+c.


Лемма 2[править | править вики-текст]

Если кубики P\,(x,\,y) и Q\,(x,\,y) пересекаются в трёх точках на прямой l:\,ax+by+c=0, то существует такое число t, что P\,(x,\,y)-t\cdot Q\,(x,\,y)\,\vdots\,ax+by+c.

Аналогично лемме 1 будем считать, что b \ne 0, тогда для точек прямой l выполняется равенство P\,(x,\,y)=P\,\left(x,\,-\frac{ax+c}{b}\right)=P_1\,(x), аналогично Q\,(x,\,y)=Q_1\,(x). Многочлены P_1\,(x) и Q_1\,(x) равны 0 в трёх общих точках, их степень не выше 3, поэтому существует такое число t, что P\,(x,\,y)=t\cdot Q\,(x,\,y) для всех точек на этой прямой. Применив лемму 1, получаем доказываемое утверждение.


Доказательство теоремы[править | править вики-текст]

В дальнейшем для краткости параметры многочленов (x,\,y) будут опущены. Обозначим уравнение чёрной кубики за H, красный прямых за K_1, K_2 и K_3, а красной кубики за K=K_1 \cdot K_2 \cdot K_3. Аналогично для синих прямых и кубики S=S_1 \cdot S_2 \cdot S_3. При этом будем считать нумерацию такой, что необходимо доказать принадлежность точки пересечения K_2 \cap S_2 кубике H.

Применив для прямой K_1 и кубик S и H лемму 2, получаем, что существует число a, для которого H-a \cdot S \,\vdots\, K_1. Аналогично существует такое b, что H-b \cdot K \,\vdots\, S_1. Тогда многочлен третьей степени A=H-a \cdot S-b \cdot K делится на K_1 и S_1, то есть A=A_1 \cdot K_1. Многочлен A равен нулю для всех точек прямой S_1, прямые K_1 и S_1 общего положения, а значит K_1 принимает значение 0 ровно в одной точек прямой S_1. Поэтому A_1 равно нулю в бесконечном числе точек прямой S_1 и по лемме 1 делится на её уравнение. Таким образом A \,\vdots\, K_1 \cdot S_1, а значит A = K_1 \cdot S_1 \cdot Q, где Q — многочлен степени не выше первой, то есть прямая или нуль.

Предположим, что Q — прямая. Левая часть равенства H-a \cdot S-b \cdot K = K_1 \cdot S_1 \cdot Q равна нулю в точках K_2 \cap S_3, K_3 \cap S_3 и K_3 \cap S_2, а значит один из трёх множителей в правой части также равен нулю. Но прямые K_1 и S_1 не проходят через эти точки, поэтому все они лежат на одной прямой — Q. Но это невозможно.

Таким образом Q\equiv0, а значит H=a \cdot S+b \cdot K. Но кубики K и S проходят через точку K_2 \cap S_2, а значит и кубика H проходит через эту точку.


Применение[править | править вики-текст]

Иллюстрация к доказательству теоремы Паскаля через теорему о 9 точках

С помощью теоремы о 9 точках просто доказываются некоторые факты из проективной геометрии, например теорема Паскаля:

Если шестиугольник вписан в коническое сечение, то точки пересечения трёх пар противоположных сторон лежат на одной прямой.

На рисунке справа шестиугольник с 3 красными и 3 синими сторонами вписан в чёрную параболу. Красные и синие прямые пересекаются в 9 зелёных точках, 6 из которых лежат на параболе, а через 2 другие проведена чёрная прямая. Поскольку чёрная кубика, содержит 8 зелёных точек, образованных пересечением красной и синей кубик, она содержит и девятую точку. Но эта точка не лежит на параболе, а значит она принадлежит прямой.


Также она может использоваться для доказательства ассоциативности операции сложения точек на эллиптической кривой[2].

Теорема Шаля[править | править вики-текст]

Теорема Шаля — обобщение для случая, когда взяты не тройки прямых, а произвольные кубики[3]:

Если в проективной плоскости две кубики имеют 9 общих точек, то любая другая кубика, проходящая через 8 из них, проходит и через девятую.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 А. С. Штерн Лекция «Теорема о 9 точках на кубической кривой». — кафедра алгебры ОмГУ, 27 ноября 2010 года.
  2. В. В. Острик, М. А. Цфасман Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые. — М.: МЦНМО, 2001. — С. 20-24. — 48 с. — (Математическое просвещение). — ISBN 5-900916-71-5
  3. Д. Айзенбёд, М. Грин, Дж. Наррис Теорема Кэли — Бахараха и гипотезы. — 1996.  (англ.)

См. также[править | править вики-текст]