Теорема представлений Рисса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Рисса (также теорема Рисса — Фреше) в функциональном анализе утверждает, что каждый линейный ограниченный функционал в гильбертовом пространстве может быть представлен через скалярное произведение с помощью некоторого элемента. Названа в честь Фридьеса Рисса[1].

Пусть существует:

  • Гильбертово пространство H
  • Линейный ограниченный функционал f \in H' в пространстве H

Тогда существует единственный элемент y пространства H, такой, что для произвольного x \in H выполняется f(x)=\langle y,x\rangle.

Также выполняется равенство

\|y\|=\|f\|

Доказательство[править | править исходный текст]

\ker(f) ядро линейного функционала является векторным подпространством H.

Существование y[править | править исходный текст]

Если f\equiv 0, достаточно взять y=0. Если же f\ne 0, тогда \ker(f)\ne H. Соответственно можно найти элемент b \in \ker(f)^\bot \smallsetminus \big\{0\big\},

\forall x \in H, обозначим p_x=x-\tfrac{f(x)}{f(b)}b.

Поскольку p_x \in \ker(f) (очевидно), по определению b имеем \langle b,p_x\rangle = 0. Из линейности скалярного произведения получаем:

\left\langle b, x-{f(x) \over f(b)}b \right\rangle = 0 = \langle b, x\rangle - {f(x) \over f(b)} \| b \|^2

Отсюда f(x) = \langle b, x\rangle \tfrac{f(b)}{\|b\|^2}.

Наконец

f(x) = \langle y, x \rangle

где y = \tfrac{f(b)}{\|b\|^2}b.

Единственность y[править | править исходный текст]

Предположим, что y и z элементы H удовлетворяют f(x) = \langle y, x \rangle = \langle z, x \rangle.

Это означает, что для всех x \in H справедливо равенство \langle y-z, x \rangle = 0, в частности \langle y-z, y-z \rangle = \|y-z\|^2 = 0, откуда и получается равенство y = z.

Альтернативно, в случае невырожденной линейной формы из равенств \dim\ker f + \dim\mathrm{Im}\,f = \dim H, \dim\ker f + \dim\ker(f)^\bot = \dim H и \dim\mathrm{Im}\,f = 1 следует \dim\ker(f)^\bot = 1, т.е. вектор y = \tfrac{f(b)}{\|b\|^2}b = |f(b)| e_b, где e_b - единичный вектор одномерного линейного пространства в положительном направлении формы f, определен однозначно.

Равенство норм[править | править исходный текст]

Для доказательства \|y\|=\|f\| сперва из неравенства Коши-Буняковского имеем: f(x)=\langle y,x\rangle \leq \|y\|\|x\|. Отсюда, согласно определению нормы функционала, имеем: \|f\|\leq\|y\|. Кроме того, \langle y, y \rangle = f(y) \leq \|y\|\|f\|, откуда \|y\|\leq\|f\|. Объединяя два неравенства, получаем \|y\|=\|f\|.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. венг. Frigyes Riesz, в русскоязычных источниках его фамилия пишется как «Рис» или «Рисс», а имя иногда транскрибируют на английский манер как «Фриджес»

См. также[править | править исходный текст]