Теорема разложения Гельмгольца

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема разложения Гельмгольца — утверждение о разложении произвольного дифференцируемого векторного поля на две компоненты:

Если дивергенция и ротор векторного поля  \mathbf{F}(\mathbf{r}) определены в каждой точке конечной открытой области V пространства, то всюду в V функция может быть представлена в виде суммы безвихревого поля \mathbf{F}_1(\mathbf{r}) и соленоидального поля \mathbf{F}_2(\mathbf{r}):

 \mathbf{F}(\mathbf{r})=\mathbf{F}_1(\mathbf{r})+\mathbf{F}_2(\mathbf{r}),

где

\operatorname{rot}\;\mathbf{F}_1 (\mathbf{r}) =0 ,
\operatorname{div}\,\mathbf{F}_2 (\mathbf{r}) = 0

для всех точек \mathbf{r} области V.


Формулировка теоремы[править | править исходный текст]

Пусть F — векторное поле в R³, и пусть оно дважды непрерывно дифференцируемо и убывает быстрее чем 1/r на бесконечности в случае неограниченной области.[1] Тогда поле F представимо в виде суммы безвихревого поля (ротор которого равен нулю) и соленоидального поля (дивергенция которого равна нулю).

Одно из возможных представлений для векторного поля F в такой форме имеет вид суммы градиента и ротора двух явно вычислимых функций, как написано ниже:

\mathbf{F} = - \nabla\,(\mathcal{G} (\nabla \cdot \mathbf{F})) + \nabla \times (\mathcal{G}(\nabla \times \mathbf{F})),

где \mathcal{G} — это оператор ньютониан (если он действует на векторное поле вроде ∇ × F, он действует на каждую его компоненту).


Если F имеет нулевую дивергенцию, ∇·F = 0, то F называется соленоидальным или бездивергентным, и разложение Гельмгольца поля F сокращается до

\mathbf{F} = \nabla \times \mathcal{G}(\nabla \times \mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{A}.

В случае такого представлении поля A называется векторным потенциалом поля F. Для соленоидального поля (то есть поля с нулевой дивергенцией) всегда можно построить вектор-функцию (векторный потенциал), ротором которого данное поле является. Векторный потенциал для заданного соленоидального поля определяется со значительной степенью свободы. В частности, без ограничения общности на него можно наложить условие кулоновской калибровки (или нормировки) ∇·A = 0 (частный случай бездивергентного векторного потенциала, см. также ниже задачу о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции). К векторному потенциалу можно свободно добавить градиент любой скалярной функции — от этого его ротор, то есть определяемое им соленоидальное поле, не меняется (а если указанная скалярная функция удовлетворяет уравнению Лапласа, то не меняется также и условие кулоновской калибровки, когда векторный потенциал ему удовлетворяет).


В случае, если F имеет нулевой ротор, ∇×F = 0, то F называется безвихревым или локально потенциальным полем, а разложение F принимает вид

\mathbf{F} =  - \nabla\,\mathcal{G} (\nabla \cdot \mathbf{F}) = - \nabla \phi.

В случае такого представления поля φ называется скалярным потенциалом поля F. Для безвихревого поля (то есть поля с нулевым ротором) всегда можно построить скалярную функцию (скалярный потенциал), градиентом которого данное поле является. Скалярный потенциал для заданного безвихревого поля определяется с точностью до аддитивной константы.

В общем случае F представимо суммой

 \mathbf{F} = -\nabla \phi + \nabla \times \mathbf{A} ,

где отрицательный градиент скалярного потенциала — безвихревая компонента поля, а ротор векторного потенциала — соленоидальная. Представление F в виде суммы безвихревого поля и соленоидального поля не является единственным, поскольку к φ всегда можно прибавить произвольную функцию ψ, удовлетворяющую уравнению Лапласа, а к A — согласованную с ψ вектор-функцию H, являющуюся результатом решения задачи о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции (см. ниже) в соответствии с уравнениями ∇·H = 0, ∇×H = ∇ψ. Такая подстановка не только меняет скалярный и векторный потенциалы, участвующие в разложении Гельмгольца, но и существенным образом меняет безвихревое поле -∇(φ+ψ) и соленоидальное поле ∇×(A+H), на сумму которых распадается поле F.

Поля, определенные ротором и дивергенцией[править | править исходный текст]

С теоремой Гельмгольца тесно связана задача о восстановлении векторного поля по дивергенции и ротору, которую иногда называют задачей Гельмгольца.

Пусть дано скалярное поле   \mathbf{d}(x,y,z)   и векторное поле   \mathbf{C}(x,y,z),   которые достаточно гладки и либо заданы в ограниченной области, либо убывают быстрее 1/r² на бесконечности. Требуется найти такое векторное поле   \mathbf{F}(x,y,z),   что

\nabla\cdot\mathbf{F}=\mathbf{d}      и      \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{C}.

При анализе существования и единственности решения задачи следует различать:

  1. внутреннюю задачу (ротор, дивергенция и сама вектор-функция рассматриваются внутри ограниченной области, имеющей достаточно гладкую границу),
  2. внешнюю задачу (ротор, дивергенция и сама вектор-функция рассматриваются для пространства R³ с вырезанной «дыркой», имеющей достаточно гладкую границу),
  3. задачу для всего пространства R³.

Внутренняя задача (при условии её разрешимости) имеет однозначное решение, если вдоль границы области задана нормальная проекция    (\mathbf{n}\cdot\mathbf{F})|_{S}=\mathbf{g}(\mathbf{S})   для вектор-функции \mathbf{F}.

Внешняя задача (при условии её разрешимости) имеет однозначное решение, если вдоль границы области задана нормальная проекция    (\mathbf{n}\cdot\mathbf{F})|_{S}=\mathbf{g}(\mathbf{S})   для вектор-функции \mathbf{F}, и на вектор-функцию \mathbf{F} наложено требование, что она убывает на бесконечности по крайней мере как   \mathbf{1/r}^{2+\varepsilon}.

Задача для всего пространства R³ (при условии её разрешимости) имеет однозначное решение, если на вектор-функцию \mathbf{F} наложено требование, что она убывает на бесконечности по крайней мере как   \mathbf{1/r}^{2+\varepsilon}.

Во всех этих случаях решение задачи Гельмгольца единственно, если оно существует при заданных входных данных.

Необходимые условия существования решения[править | править исходный текст]

Задача имеет решение не при всех   \mathbf{d}(x,y,z),   \mathbf{C}(x,y,z)   и   \mathbf{g(S)}  :

  1. Из тождества    \nabla \cdot \nabla \times \mathbf{F} \equiv 0    следует, что должно быть выполнено условие    \nabla \cdot \mathbf{C}=0 ,   то есть дивергенция вектора   \mathbf{C}(x,y,z)   обязана быть равной нулю.
  2. Для внутренней задачи из тождества    \iiint_{V} (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \iint_{S} (\mathbf{n}\cdot\mathbf{F})\,dS   следует, что    \iiint_{V} \mathbf{d(x,y,z)}\,dV = \iint_{S} \mathbf{g(S)}\,dS,   то есть интеграл от краевого условия   \mathbf{g(S)}   по ограничивающей поверхности   \mathbf{S}   должен быть равен интегралу от функции   \mathbf{d}(x,y,z)   по объему области.
  3. Для внешней задачи и для задачи, заданной для всего пространства R³, функции   \mathbf{d}    и     \mathbf{C}   должны достаточно быстро стремиться к нулю на бесконечности вместе с самой функцией.

Достаточные условия существования и единственности решения[править | править исходный текст]

A. Внутренняя задача: если

  1.  \nabla \cdot \mathbf{C(x,y,z)}=0    и  
  2.  \iiint_{V} \mathbf{d(x,y,z)}\,dV = \iint_{S} \mathbf{g(S)}\,dS,  
то решение задачи восстановления поля   \mathbf{F}(x,y,z)   по ротору    \mathbf{C}(x,y,z) ,   дивергенции    \mathbf{d}(x,y,z)    и граничному условию    \mathbf{g(S)}    существует и единственно.

Б. Внешняя задача: если

  1.  \nabla \cdot \mathbf{C(x,y,z)}=0    и  
  2. интегралы  \iiint_{V} \frac{\mathbf{d}(x',y',z')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}\,dV'   и    \iiint_{V} \frac{\mathbf{C}(x',y',z')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}\,dV'   сходятся при интегрировании по бесконечному объему и убывают на бесконечности при   \mathbf{r}\to\infty   по крайней мере как   \mathbf{1/r}^{1+\varepsilon},  
то решение задачи восстановления поля   \mathbf{F}(x,y,z)   по ротору    \mathbf{C}(x,y,z) ,   дивергенции    \mathbf{d}(x,y,z) ,   граничному условию    \mathbf{g(S)}    и условию, что    \mathbf{F}(x,y,z)    спадает на бесконечности по крайней мере как   \mathbf{1/r}^{2+\varepsilon},   существует и единственно.

В. Задача для всего пространства R³: если

  1.  \nabla \cdot \mathbf{C(x,y,z)}=0    и  
  2. интегралы  \iiint_{V} \frac{\mathbf{d}(x',y',z')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}\,dV'   и    \iiint_{V} \frac{\mathbf{C}(x',y',z')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}\,dV'   сходятся при интегрировании по бесконечному объему и убывают на бесконечности при   \mathbf{r}\to\infty   по крайней мере как   \mathbf{1/r}^{1+\varepsilon},  
то решение задачи восстановления поля   \mathbf{F}(x,y,z)   по ротору    \mathbf{C}(x,y,z) ,   дивергенции    \mathbf{d}(x,y,z)    и условию, что    \mathbf{F}(x,y,z)    спадает на бесконечности по крайней мере как   \mathbf{1/r}^{2+\varepsilon},   существует и единственно.

Разрешимость и однозначность решения задачи Гельмгольца тесно связана с разрешимостью и однозначностью решения задачи Неймана для уравнения Лапласа в той же самой области (см. далее алгоритм конструирования решения задачи Гельмгольца).

Разложение векторного поля на сумму безвихревого поля и соленоидального поля[править | править исходный текст]

С помощью задачи о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции, разложение векторного поля   \mathbf{F}(x,y,z)   на сумму безвихревого поля и соленоидального поля может быть выполнено следующим образом:

1) Для заданной вектор-функции   \mathbf{F}   вычисляются: функция    \mathbf{C} = \nabla \times \mathbf{F} ,   функция    \mathbf{d} = \nabla \cdot \mathbf{F} ,   краевое условие   \mathbf{g}(\mathbf{S})=(\mathbf{n}\cdot\mathbf{F})|_{S},   если вектор-функция   \mathbf{F}   задана для подобласти пространства с границей S.
2) Когда речь идёт о внутренней задаче, то из тождества   \iiint_{V} (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV \equiv \iint_{S} (\mathbf{n}\cdot\mathbf{F})\,dS,   следует условие совместности   \iiint_{V} \mathbf{d}(x,y,z)\,dV = \iint_{S} \mathbf{g(S)}\,dS.   Поэтому все условия совместности входных данных для задачи    \nabla\cdot\mathbf{F_1} = \mathbf{d}   и    \nabla\times\mathbf{F_1} = 0   с краевым условием   \mathbf{g}(\mathbf{S})   выполнены, задача разрешима и имеет единственное решение. Полученная вектор-функция   \mathbf{F_1}   является безвихревым полем.
3) Поскольку    \nabla\cdot\mathbf{C} = \nabla\cdot\nabla \times \mathbf{F}\equiv 0,   условия совместности входных данных для задачи    \nabla\cdot\mathbf{F_2} = 0   и    \nabla\times\mathbf{F_2} = \mathbf{C}   с нулевым краевым условием выполнены, задача разрешима и имеет единственное решение. Полученная вектор-функция   \mathbf{F_2}   является соленоидальным полем.
4) Рассмотрим задачу    \nabla\cdot\mathbf{F_3} = \mathbf{d},      \nabla\times\mathbf{F_3} = \mathbf{C}   с краевым условием   \mathbf{g}(\mathbf{S}).   Условия совместности входных данных выполнены, задача разрешима и имеет единственное решение. При этом с одной стороны, решением данной задачи является сама функция   \mathbf{F},   а с другой стороны, решением этой же задачи является функция   \mathbf{F_1}+\mathbf{F_2}.   Значит,   \mathbf{F}\equiv\mathbf{F_1}+\mathbf{F_2},   искомое представление поля   \mathbf{F}   как суммы безвихревого поля и соленоидального поля построено.

Построенное представление векторного поля в виде суммы двух полей не является единственным. Существуют векторные поля, которые одновременно являются и безвихревыми (ротор равен нулю), и соленоидальными (дивергенция равна нулю). Эти поля — градиенты скалярных функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа (и только они). Прибавляя любое такое поле к первому слагаемому и вычитая его из второго слагаемого, получим новое разбиение векторного поля на сумму безвихревого и соленоидального поля.

Восстановление вектор-функции по ротору и дивергенции[править | править исходный текст]

Решение задачи о восстановлении функции по ротору, дивергенции и краевому условию может быть построено следующим образом:

1) Для заданной функции    \mathbf{d}(x,y,z)    вычисляется функция    \mathbf{F_1}(x,y,z)=\nabla \mathbf{U},   где скалярный потенциал    \mathbf{U}(x,y,z)    вычисляется по формуле
  \mathbf{U}(x,y,z)=-\frac{1}{4\pi}\iiint_V \frac{\mathbf{d}(x',y',z')}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}dx'dy'dz' .  
В результате получается функция    \mathbf{F_1}(x,y,z),   у которой   \nabla \cdot \mathbf{F_1}(x,y,z)=\mathbf{d}(x,y,z)   и   \nabla \times \mathbf{F_1}(x,y,z)=0;  
2) Для заданной функции    \mathbf{C}(x,y,z)    вычисляется функция    \mathbf{F_2}(x,y,z)=\nabla \times \mathbf{A},   где векторный потенциал    \mathbf{A}(x,y,z)    вычисляется по формуле
  \mathbf{A}(x,y,z)=+\frac{1}{4\pi}\iiint_V \frac{\mathbf{C}(x',y',z')}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}dx'dy'dz' .  
В результате получается функция    \mathbf{F_2}(x,y,z),   у которой   \nabla \cdot \mathbf{F_2}(x,y,z)=0   и   \nabla \times \mathbf{F_2}(x,y,z)=\mathbf{C}(x,y,z);  
3) Ищется функция    \mathbf{F_3}(x,y,z),   у которой   \nabla \cdot \mathbf{F_3}(x,y,z)=0,     \nabla \times \mathbf{F_3}(x,y,z)=0,   а нормальная проекция на границе области   (\mathbf{n}\cdot\mathbf{F_3})|_{S}   выбрана таким образом, чтобы    \mathbf{F}=\mathbf{F_1}+\mathbf{F_2}+\mathbf{F_3}    удовлетворяла граничному условию   (\mathbf{n}\cdot\mathbf{F})|_{S}=\mathbf{g}(\mathbf{S}).  
Чтобы найти такую функцию    \mathbf{F_3}(x,y,z) ,   делается подстановка    \mathbf{F_3}(x,y,z)=\nabla \mathbf{H},   где скалярный потенциал    \mathbf{H}(x,y,z)    должен удовлетворять уравнению Лапласа    \Delta\mathbf{H}=0 .   Для функции    \mathbf{H}(x,y,z)    получается краевое условие Неймана    \left.\frac{\partial\mathbf{H}}{\partial\mathbf{n}}\right|_{S}=\mathbf{g(S)}-(\mathbf{n}\cdot(\mathbf{F_1+F_2})) ,    причем легко проверить, что критерий разрешимости задачи Неймана будет выполнен. Поэтому функция    \mathbf{H}(x,y,z)    всегда существует, определяется единственным образом для внешней задачи, и с точностью до аддитивной константы для внутренней задачи. В результате нужная нам функция    \mathbf{F_3}(x,y,z)   всегда существует и единственна.


Функция    \mathbf{F}(x,y,z)=\mathbf{F_1}(x,y,z)+\mathbf{F_2}(x,y,z)+\mathbf{F_3}(x,y,z)   является решением для поставленной задачи, причём единственным. Если граничное условие не задано, решением задачи являются все возможные функции вида   \mathbf{F}(x,y,z)=\mathbf{F_1}(x,y,z)+\mathbf{F_2}(x,y,z)+\mathbf{F_3}(x,y,z),   где    \mathbf{F_3}(x,y,z),   есть градиент любой функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа. Если задача ставится во всём пространстве R³, решением (единственным) будет функция    \mathbf{F}(x,y,z)=\mathbf{F_1}(x,y,z)+\mathbf{F_2}(x,y,z),   обладающая нужным поведением на бесконечности.

Альтернативная формулировка теоремы Гельмгольца[править | править исходный текст]

В результате теорема Гельмгольца может быть переформулирована в следующих терминах. Пусть C — соленоидальное векторное поле (div C=0), а d — скалярное поле в R³, которые достаточно гладки и либо заданы в ограниченной области, либо убывают быстрее 1/r² на бесконечности. Тогда существует векторное поле F такое, что

\nabla \cdot \mathbf{F} = d   и    \nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{C}.

Если к тому же векторное поле F рассматривается во всем пространстве R³ и исчезает при r → ∞, тогда F единственно.[1] В общем же случае решение определяется с точностью до аддитивной добавки — градиента произвольной функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа.

Другими словами, при определенных условиях векторное поле может быть построено по его ротору и дивергенции, причем когда задача определена во всем пространстве R³, решение однозначно (при априорном предположении, что поле исчезает на бесконечности достаточно быстро). Эта теорема имеет огромное значение в электростатике, например уравнения Максвелла в статическом случае описывают поля как раз этого типа.[1] Как уже было написано выше, одно из возможных решений:

\mathbf{F} = - \nabla\,(\mathcal{G} (d)) + \nabla \times (\mathcal{G}(\mathbf{C})).

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. 1 2 3 David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice-Hall, 1989, p. 56.

Литература[править | править исходный текст]