Теорема синусов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Стандартные обозначения

Теоре́ма си́нусов — теорема, устанавливающая зависимость между сторонами треугольника и противолежащими им углами. Существуют два варианта теоремы; обычная теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}

и расширенная теорема синусов

Для произвольного треугольника

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2{\cdot}R,

где a, b, c — стороны треугольника, \alpha, \beta,  \gamma — соответственно противолежащие им углы, а R — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.


Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • В треугольнике против бо́льшего угла лежит большая сторона, против бо́льшей стороны лежит больший угол.
  • Стороны треугольника пропорциональны лишь синусам его внутренних углов, но не пропорциональны величинам самих углов. К примеру, в прямоугольном треугольнике с острыми углами 30° и 60°  \sin 90^\circ больше  \sin 30^\circ в 2 раза: 1 : 1/2 = 2, гипотенуза больше катета, лежащего против угла 30°, также в 2 раза. Но угол 90° будет больше угла 30° в 3 раза.
  • В n-мерном симплексе имеется соотношение
    R_n=\frac{R_{n-1}^i}{\sin (2{\cdot} {A_{n-1}^i})},
где  R_n  — радиус описанной сферы; R_{n-1}^i — радиус описанной (n-1)-мерной сферы i-грани; A_{n-1}^i — угловой радиус описанного конуса вокруг i-ой вершины.

История[править | править вики-текст]

  • Древнейшее из дошедших до нас доказательств теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике» написанной в XIII веке[1].
  • Теорема синусов для сферического треугольника была доказана математиками средневекового Востока ещё в X веке[2]. В труде Ал-Джайяни XI века «Книга о неизвестных дугах сферы» приводилось общее доказательство теоремы синусов на сфере[3].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Berggren J. Lennart Mathematics in Medieval Islam // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. — Princeton University Press, 2007. — P. 518. — ISBN 9780691114859.
  2. Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (2000) «Islamic mathematics» pp. 137— , page 157, in Selin, Helaine & D'Ambrosio, Ubiratan (2000), «Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics», Springer, ISBN 1402002602 
  3. Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani