Теорема синусов

Стандартные обозначения

Теоре́ма си́нусов — теорема, устанавливающая зависимость между сторонами треугольника и противолежащими им углами.

Теорема Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Для произвольного треугольника $\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R,$ где $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника, $\alpha, \beta, \gamma$ — соответственно противолежащие им углы, а $R$ — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

Доказательство  

Достаточно доказать, что

$\frac{a}{\sin\alpha} = 2R.$

Проведем диаметр $|BG|$ для описанной окружности. По свойству углов, вписанных в окружность, угол $GCB$ прямой, а угол $CGB$ равен либо $\alpha$, если точки $A$ и $G$ лежат по одну сторону от прямой $BC$, либо $\pi-\alpha$ в противном случае. Поскольку $\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$, в обоих случаях получаем

$a=2R\sin\alpha$.

Повторив то же рассуждение для двух других сторон треугольника, получаем:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R.$

Вариации и обобщения

• В $n$-мерном симплексе имеется соотношение

  $R_n=\frac{R_{n-1}^i}{\sin 2{A_{n-1}^i}},$

где $R_n$ — радиус описанной сферы; $R_{n-1}^i$ — радиус описанной $(n-1)$-мерной сферы $i$-грани; $A_{n-1}^i$ — угловой радиус описанного конуса вокруг $i$-ой вершины.

История

Самое древнее доказательство для теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике» написанной в XIII веке. Теорема синусов для сферического треугольника была доказана математиками средневекового Востока ещё в X веке. В труде Ал-Джайяни XI века «Книга о неизвестных дугах сферы» приводилось общее доказательство теоремы синусов на сфере.

См. также

• Решение треугольников
• Теорема косинусов
• Теорема котангенсов
• Теорема синусов (сферическая геометрия)
• Теорема тангенсов