Теорема синусов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Теоре́ма си́нусов — теорема, устанавливающая зависимость между сторонами треугольника и противолежащими им углами. Теорема утверждает, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, или, в расширенной формулировке:

Для произвольного треугольника

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R,$

где $a$ , $b$ , $c$ — стороны треугольника, $α,β,γ$ — соответственно противолежащие им углы, а $R$ — радиус описанной окружности треугольника.

Доказательство

Достаточно доказать следующие положения:

$\frac{a}{\sin\alpha} = 2R.$

Проведем диаметр $| B G |$ для описанной окружности. По свойству углов, вписанных в окружность, угол $\angle BCG$ прямой и угол при вершине $G$ треугольника $\triangle BGC$ равен либо $α$ , если точки $A$ и $G$ лежат по одну сторону от прямой $B C$ , либо $π - α$ в противном случае. Поскольку $sin(π - α) = sinα$ , в обоих случаях $a = 2 R sinα$ . Повторив то же рассуждение для двух других сторон треугольника, получаем: