Теоремы Карно

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоремы Карно — две теоремы эвклидовой геометрии, названные в честь Лазара Карно (17531823).

Первая теорема (более известна как формула Карно)[править | править исходный текст]

Первая теорема Карно:
DG+DH+DF = |DG| + |DH| - |DF| = R + r

Пусть дан произвольный треугольник ABC. Тогда сумма алгебраических расстояний (англ.) от центра описанной окружности D до сторон треугольника ABC будет равна DF + DG + DH = R + r, где r — радиус вписанной окружности, а R — описанной. Знак расстояния принимается отрицательным тогда и только тогда, когда отрезок DX (X = F, G, H) целиком лежит вне треугольника. В ее доказательстве используется теорема Птолемея. Н

Вторая теорема (известная также как критерий Карно)[править | править исходный текст]

Пусть дан треугольник АВС и точки А1, В1, С1 на плоскости. Тогда перпендикуляры, опущенные из А1, В1, С1 на BC, АС, AВ соответственно, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда A_{1}B^2-A_{1}C^2+B_{1}C^2-B_{1}A^2+C_{1}A^2-C_{1}B^2=0.

Следствие[править | править исходный текст]

Перпендикуляры, опущенные из А1, В1, С1 на BC, АС, AВ соответственно, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда перпендикуляры, опущенные из А, В, С на В1С1, А1С1, В1С1 соответственно, пересекаются в одной точке.

Ссылки[править | править исходный текст]