Теоремы Паппа — Гульдина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Те́оремы Па́ппа — Гу́льдина — две теоремы о телах вращения, которые связывают их площадь и объём с длиной окружности, описываемой барицентром. Сформулированы Паппом Александрийским (доказательства он не привёл); первое известное доказательство принадлежит Паулю Гульдину (1640)[1].

Первая теорема Паппа — Гульдина (о площади поверхности вращения)[править | править вики-текст]

Площадь поверхности тела, образованного вращением плоской линии (замкнутой или незамкнутой) вокруг оси, лежащей в плоскости этой линии и не пересекающей её, равна произведению длины вращающейся линии на длину окружности, радиусом которой служит расстояние от оси до барицентра линии[2][3].

Вторая теорема Паппа — Гульдина (об объёме тела вращения)[править | править вики-текст]

Объём тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси, расположенной в той же плоскости и не пересекающей фигуру, равен площади фигуры, умноженной на длину окружности, радиусом которой служит расстояние от оси вращения до барицентра фигуры[2][4].

Доказательство[править | править вики-текст]

Лемма[править | править вики-текст]

Пусть в плоскости по одну сторону от прямой расположено несколько материальных точек одинаковой массы. Тогда центр тяжести этой системы точек удалён от прямой l на расстояние, равное среднему арифметическому расстояний этих точек от прямой l.

Доказательство: Докажем лемму методом математической индукции. Обозначим число точек через n, сами точки через M_1, M_2, …, M_n, массу каждой точки через m, а расстояния точек от прямой l через r_1, r_2, …, r_n.

Для n=1, утверждение леммы очевидно. Пусть лемма верна для n-1 точки. Тогда их центр тяжести P находится на расстоянии

r=\frac{r_1+r_2+...+r_n}{n-1}.

Заменим систему материальных точек M_1, M_2, …, M_{n-1} точкой P, сосредоточив в ней массу, равную (n-1)m. Остается найти центр тяжести O двух материальных точек P и M_n. Так как точка P имеет массу (n-1)m, а точка M_n —- массу m, то

PO\; :\; OM_n\;=\;1\; :\; (n-1).

Следовательно, если r^* —- расстояние от точки O до прямой (рис. 1), то

(r-r^*)\; :\; (r^*-r_n)\;=\;1\; :\; (n-1),

откуда

r^*=\frac{(n-1)r+r_n}{n}=\frac{r_1+r_2+...+r_{n-1}+r_n}{n}

Таким образом, утверждение леммы справедливо для n материальных точек.

Доказательство первой теоремы Паппа — Гульдина[править | править вики-текст]

Прежде всего докажем, что эта теорема справедлива, если кривая, о которой идет речь в теореме, является n-звенной ломаной, у которой все звенья имеют одну и ту же длину m. Середины звеньев ломаной обозначим через M_1, M_2, …, M_n, а расстояния от этих точек до прямой l — через r_1, r_2, …, r_n. При вращении рассматриваемой ломаной вокруг прямой l получается поверхность (рис. 2), состоящая из n частей, каждая из которых представляет собой боковую поверхность усеченного конуса. Так как боковая поверхность усечённого конуса равна произведению длины образующей на длину окружности среднего сечения, то площадь получившейся фигуры вращения равна

S=m\ 2\pi r_1+m\ 2\pi r_2+...m\ 2\pi r_n

Замечая, что длина рассматриваемой ломаной равна P=mn, можно переписать выражение для площади так:

S=P\ 2\pi R,

где

R=\frac{r_1+r_2+...+r_n}{n}

но центр тяжести ломаной, то есть центр тяжести точек M_1, M_2, …, M_n, в каждой из которых сосредоточена масса m, согласно лемме, отстоит от прямой l на расстоянии R. Это означает, что в рассматриваемом частном случае первая теорема Паппа — Гульдина справедлива.

Теперь рассмотрим произвольную линию K, при вращении которой при вращении вокруг оси l получается поверхность Q. Впишем в нее ломаную L, содержащую m звеньев. При вращении L вокруг оси l получим поверхность T, площадь которой равна S=P 2\pi R, где P — длина ломаной L, а R — расстояние от центра тяжести ломаной L до оси вращения l. Если считать m\to 0, то длина ломаной L будет стремиться к длине линии K, площадь поверхности T будет стремиться к площади поверхности Q, центр тяжести ломаной L будет стремиться к центру тяжести кривой K. Так как для любого m соотношение S=P 2\pi R справедливо для L, то переходя к пределу m\to 0, найдем, что оно справедливо и для кривой K.

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Глейзер Г. И.  История математики в школе. IX – X классы. — М.: Просвещение, 1983. — 351 с.
  • Фихтенгольц Г. М.  Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. II. 7-е изд. — М.: Наука, 1969. — 800 с.