Теоремы Силова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории групп теоремы Си́лова представляют собой неполный вариант обратной теоремы к теореме Лагранжа и для некоторых делителей порядка группы G гарантируют существование подгрупп такого порядка. Теоремы доказаны норвежским математиком Силовом в 1872 г.

Необходимые определения[править | править вики-текст]

Пусть G — конечная группа, а p — простое число, которое делит порядок G. Подгруппы порядка p^t называются p-подгруппами. Выделим из порядка группы G примарный делитель по p, то есть  |G| = p^ns, где s не делится на p. Тогда силовской p-подгруппой называется подгруппа G, имеющая порядок p^n.

Теоремы[править | править вики-текст]

Пусть G — конечная группа. Тогда:

  1. Силовская p-подгруппа существует.
  2. Всякая p-подгруппа содержится в некоторой силовской p-подгруппе. Все силовские p-подгруппы сопряжены (то есть каждая представляется в виде gPg^{-1}, где g — элемент группы, а P — силовская подгруппа из теоремы 1).
  3. Количество силовских p-подгрупп N_p сравнимо с единицей по модулю p (N_p \equiv 1 \; {\rm mod\,} p) и делит s, где |G|=p^k s и (p,s)=1.

Следствие[править | править вики-текст]

Если все делители |G|, кроме 1, после деления на p дают остаток, отличный от единицы, то в G есть единственная силовская p-подгруппа и она является нормальной (и даже характеристической).

Например: Докажем, что группа порядка 350 не может быть простой. 350 = 2\cdot 5^2\cdot 7, значит, силовская 5-подгруппа имеет порядок 25. N_5 должно делить 14 и сравнимо с 1 по модулю 5. Этим условиям удовлетворяет только единица. Значит, в G одна силовская 5-подгруппа, а значит, она нормальна, и поэтому G не может быть простой.

Доказательства[править | править вики-текст]

Пусть pn — примарный по p делитель порядка G.

1. Докажем теорему индукцией по порядку G. При |G| = p теорема верна. Пусть теперь |G| > p. Пусть Z(G) — центр группы G. Возможны два случая:

а) p делит |Z|. Тогда в центре существует циклическая группа {<}a{>}_{p^k} (как элемент примарного разложения центра), которая нормальна в G. Факторгруппа G по этой циклической группе имеет меньший порядок, чем G, значит, по предположению индукции, в ней существует силовская p-подгруппа. Рассмотрим её прообраз в G. Он и будет нужной нам силовской p-подгруппой G.

б) p не делит |Z|. Тогда рассмотрим разбиение G на классы сопряжённости: |G| = |Z| + \sum |K_a| (поскольку если элемент лежит в центре, то его класс сопряжённости состоит из него одного). Порядок G делится на p, значит, должен найтись класс Ka, порядок которого не делится на p. Соответствующий ему централизатор Z_G(a) имеет порядок pnr, r < s. Значит, по предположению индукции, в нём найдётся силовская p-подгруппа — она и будет искомой.

2. Пусть H — произвольная p-подгруппа G. Рассмотрим её действие на множестве левых классов смежности G/P левыми сдвигами, где P — силовская p-подгруппа. Число элементов любой нетривиальной орбиты должно делиться на p. Но |G/P| не делится на p, значит, у действия есть неподвижная точка gP. Получаем \forall h \in H \quad hga = ga',\quad a,a' \in P, а значит, h = ga'a^{-1}g^{-1} \in gPg^{-1}, то есть H лежит целиком в некоторой силовской p-подгруппе.

Если при этом H — силовская p-подгруппа, то она сопряжена с P.

3. Количество силовских p-подгрупп есть [G:NG(P)], значит, оно делит |G|. По теореме 2, множество всех силовских p-подгрупп есть X = {gPg-1}. Рассмотрим действие P на X сопряжениями. Пусть при этом действии H из X — неподвижная точка. Тогда P и H принадлежат нормализатору подгруппы H и при этом сопряжены в NG(H) как его силовские p-подгруппы. Но H нормальна в своём нормализаторе, значит, H = P и единственная неподвижная точка действия — это P. Поскольку порядки всех нетривиальных орбит кратны p, получаем N_p \equiv 1 \pmod p.

Нахождение силовской подгруппы[править | править вики-текст]

Проблема нахождения силовской подгруппы данной группы является важной задачей вычислительной теории групп. Для групп перестановок Уильям Кантор доказал, что силовская p-подгруппа может быть найдена за время, полиномиальное от размера задачи (в данном случае это порядок группы, помноженный на количество порождающих элементов).

Литература[править | править вики-текст]

  • А. И. Кострикин. Введение в алгебру, III часть. М.: Физматлит, 2001.
  • Э. Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал-Пресс, 2002.