Теория Бранса — Дикке

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Тео́рия Бра́нса — Ди́кке (реже тео́рия Йо́рдана — Бра́нса — Ди́кке) — скалярно-тензорная теория гравитации, совпадающая в одном из пределов с общей теорией относительности. В теории Йордана — Бранса — Дикке как скалярно-тензорной метрической теории гравитационное воздействие на материю реализуется через метрический тензор пространства-времени, а материя влияет на метрику не только непосредственно, но и через генерируемое дополнительно скалярное поле \phi. Из-за этого в теории Йордана — Бранса — Дикке гравитационная постоянная G не обязательно постоянна, но зависит от скалярного поля  1/G\sim\phi , которое может изменяться в пространстве и времени.

Эта теория получила окончательную формулировку в 1961 году в статье Карла Бранса и Роберта Дикке,[1] которая опиралась существенным образом на работу Паскуаля Йордана 1959 года.[2] В "Золотой век" общей теории относительности эта теория рассматривалась как достойный соперник общей теории относительности из числа альтернативных теорий гравитации.

Как теория, сводящаяся к ОТО при специальном наборе параметров, теория Йордана — Бранса — Дикке не может быть опровергнута экспериментами, не противоречащими общей теории относительности. Однако подтверждающие предсказания теории относительности эксперименты значительно ограничивают допустимый произвол параметров теории Йордана — Бранса — Дикке. В настоящее время теорию Йордана — Бранса — Дикке поддерживает меньшинство физиков.

Сравнение с Общей Теорией Относительности[править | править исходный текст]

Как ОТО, так и теория Бранса — Дикке представляют собой примеры классических теорий гравитационного поля, называемых метрическими теориями. В этих теориях пространство-время описывается метрическим тензором g_{ab}, а гравитационное поле представляется, полностью или частично, тензором кривизны Римана R_{abcd}, который определяется метрическим тензором.

Все метрические теории удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна, который на современном геометрическом языке гласит, что в маленькой области пространства, слишком маленькой, чтобы в ней проявлялись эффекты, связанные с кривизной пространства, все законы физики, существующие в специальной теории относительности, верны в локальной лоренцевой системе отсчёта. Отсюда следует, что, во всех метрических теориях проявляется эффект гравитационного красного смещения.

Как и в ОТО, источником гравитационного поля является тензор энергии-импульса. Однако способ, которым наличие этого тензора в какой-либо области пространства влияет на гравитационное поле в этой области, оказывается другим. В теории Бранса — Дикке в дополнение к метрике, которая является тензором второго ранга, существует так же скалярное поле \phi, которое физически проявляется как изменение в пространстве эффективной гравитационной постоянной.

Уравнения поля теории Бранса — Дикке содержат параметр \omega, называемый константой связи Бранса — Дикке. Это настоящая безразмерная константа, которая выбирается один раз и не изменяется. Разумеется, её следует выбирать так, чтобы она соответствовала наблюдениям. Кроме того, существующее фоновое значение эффективной гравитационной постоянной должно быть использовано в качестве граничного условия. При возрастании константы связи теория Бранса — Дикке даёт предсказания, всё более близкие к ОТО, а в пределе \omega\rightarrow\inf переходит в неё.

В ОТО безразмерные константы отсутствуют, и, следовательно, она легче поддаётся фальсификации, чем теория Бранса — Дикке. Теории, допускающие подгонку параметров, в принципе считаются менее удовлетворительными, и при выборе из двух альтернативных теорий следует выбирать ту, которая содержит меньшее количество параметров (принцип бритвы Оккама). Однако в некоторых теориях такие параметры являются необходимыми.

Теория Бранса — Дикке является менее строгой, чем ОТО и в ещё одном смысле — она допускает большее количество решений. В частности, точное вакуумное решение уравнений Эйнштейна ОТО, дополненное тривиальным скалярным полем \phi=1, становится точным вакуумным решением в теории Бранса — Дикке, однако некоторые решения, которые не являются вакуумными решениями ОТО, при соответствующем выборе скалярного поля становятся вакуумными решениями теории Бранса — Дикке. Аналогично, важный класс метрик пространства-времени, называемых pp-волнами, являются нулевыми пылевыми решениями как в ОТО, так и в теории Бранса — Дикке, однако в теории Бранса — Дикке существуют дополнительные волновые решения, имеющие геометрии, невозможные в ОТО.

Как и ОТО, теория Бранса — Дикке предсказывает гравитационное линзирование и прецессию перигелия планет, вращающихся вокруг Солнца. Однако точные формулы, описывающие эти эффекты в ней, зависят от значения константы связи \omega. Это означает, что из наблюдений может быть получено значение нижней границы на возможные значения \omega. В 2003 году в ходе эксперимента Кассини-Гюйгенс было показано, что \omega должно превышать 40000.

Часто можно услышать, что теория Бранса — Дикке, в отличие от ОТО, удовлетворяет принципу Маха. Однако некоторые авторы утверждают, что это не так (особенно учитывая отсутствие консенсуса о том, что, собственно, представляет собой принцип Маха). Обычно утверждается, что ОТО может быть получена из теории Бранса — Дикке при \omega \rightarrow \infty. Однако Фараони (см. ссылки) утверждает, что такая точка зрения является упрощением. Утверждается так же, что только ОТО удовлетворяет сильному принципу эквивалентности.

Уравнения поля[править | править исходный текст]

Уравнения поля в теории Бранса — Дикке имеют следующий вид:

\Box\phi = \frac{8\pi}{3+2\omega}T,
G_{ab} = \frac{8\pi}{\phi}T_{ab}+\frac{\omega}{\phi^2}
(\partial_a\phi\partial_b\phi-\frac{1}{2}g_{ab}\partial_c\phi\partial^c\phi)
+\frac{1}{\phi}(\nabla_a\nabla_b\phi-g_{ab}\Box\phi),

где

Первое уравнение утверждает, что след тензора энергии-импульса является источником скалярного поля \phi. Так как электромагнитное поле вносит вклад только в бесследовые члены тензора энергии-импульса, то в областях пространства, содержащих только электромагнитное поле (плюс гравитационное поле), правая часть выражения обращается в ноль и \phi свободно проходит сквозь электровакуумный регион и \phi удовлетворяет волновому уравнению (для искривлённого пространства). Это означает, что любые изменения в \phi свободно распространяется через электровакуумную область; в этом смысле мы можем утверждать, что \phi является дальнодействующем полем

Второе уравнение описывает, каким образом тензор энергии-импульса и скалярное поле \phi совместно влияют на пространство-время. Слева тензор Эйнштейна может рассматриваться как средняя кривизна. Из математики следует, что в любой метрической теории тензор Римана может быть записан как сумма тензора Вейля (также называемого конформным тензором кривизны) плюс слагаемого, собираемого из тензора Эйнштейна.

Для сравнения, уравнения поля в общей теории относительности

G_{ab} = 8 \pi T_{ab}.

Оно означает, что в ОТО кривизна Эйнштейна полностью определяется тензором энергии-импульса, а другое слагаемое, кривизна Вейля, соответствует части гравитационного поля, распространяющейся сквозь вакуум. А в теории Бранса — Дикке тензор Эйнштейна определяется частично непосредственно присутствующими энергией и импульсом, а частично дальнодействующим скалярным полем \phi.

Уравнения поля в вакууме обоих теорий получаются при занулении тензора энергии-импульса. Они описывают ситуацию, когда все поля, кроме гравитационного, отсутствуют.

Действие[править | править исходный текст]

Лагранжиан, содержащий полное описание теории Бранса — Дикке, выглядит следующим образом:

S=\frac{1}{16\pi}\int d^4x\sqrt{-g} \; 
\left(\phi R - \omega\frac{\partial_a\phi\partial^a\phi}{\phi} + \mathcal{L}_\mathrm{M}\right),

где

  • g — детерминант метрики,
  • \sqrt{-g} \, d^4 x — четырёхмерная форма объёма,
  • \mathcal{L}_\mathrm{M}лагранжиан вещества.

Последнее слагаемое включает в себя вклад обычной материи и электромагнитного поля. В вакууме он обращается в ноль, и то, что остаётся, называется гравитационным слагаемым. Для того, чтобы получить вакуумные уравнения, мы должны посчитать его вариации относительно метрики g_{a b}; это даст нам второе из уравнений поля. При расчёте же вариаций относительно скалярного поля \phi мы получим первое из уравнений. Заметим что, в отличие от уравнений ОТО, слагаемое \delta R_{ab}/\delta g_{cd} не обнуляется, так как результат не является полным дифференциалом. Можно показать, что:

\frac{\delta(\phi R)}{\delta g^{ab}} = \phi R_{ab} + g_{ab}g^{cd}\phi_{;cd} - \phi_{;ab}.

Для того, чтобы доказать это воспользуемся тем, что

\delta (\phi R) = R \delta \phi + \phi R_{mn} \delta g^{mn} + \phi \nabla_s (g^{mn} \delta\Gamma^s_{nm} - g^{ms}\delta\Gamma^r_{rm} ).

При вычислении \delta\Gamma в Римановых нормальных координатах 6 индивидуальных слагаемых оказываются равными нулю. Ещё 6 могут быть скомбинированы, используя теорему Стокса, что даёт (g_{ab}g^{cd}\phi_{;cd} - \phi_{;ab})\delta g^{ab}.

Для сравнения, в общей теории относительности лагранжиан имеет вид:

S=\int d^4x\sqrt{-g} \; (\frac{R }{16\pi G} + \mathcal{L}_\mathrm{M}).

Считая вариации гравитационного члена относительно g_{a b}, получаем полевые уравнения Эйнштейна в вакууме.

В обоих теориях полные полевые уравнения могут быть получены путём вариаций полного лагранжиана, так что они обладают действием.

Смотри также[править | править исходный текст]

Ссылки и примечания[править | править исходный текст]

  1. Brans, C. H.; Dicke, R. H. (1961). «Mach's Principle and a Relativistic Theory of Gravitation». Physical Review 124 (3): 925–935. DOI:10.1103/PhysRev.124.925.
  2. Jordan, P. (1959). «Zum gegenwärtigen Stand der Diracschen kosmologischen Hypothesen». Zeitschrift für Physik A Hadrons and Nuclei 157 (1): 112–121. DOI:10.1007/BF01375155.

Внешние ссылки[править | править исходный текст]

  • P. G. Bergmann (1968). «Comments on the scalar-tensor theory». Int. J. Theor. Phys. 1: 25. DOI:10.1007/BF00668828.
  • R. V. Wagoner (1970). «Scalar-tensor theory and gravitational waves». Phys. Rev. D1: 3209.
  • Misner, Charles; Thorne, Kip S.; & Wheeler, John Archibald Gravitation. — San Francisco: W. H. Freeman, 1973. — ISBN 0-7167-0344-0
    См. Box 39.1.
  • Will, Clifford M. Was Einstein Right?: Putting General Relativity to the Test. — NY: Basic Books, 1986. — ISBN 0-19-282203-9
    Chapter 8: "The Rise and Fall of the Brans-Dicke Theory".
  • Faroni, Valerio (1999). «Illusions of general relativity in Brans-Dicke gravity». Phys. Rev. D59: 084021.
    Также препринт в ArXiv.
  • Faraoni, Valerio Cosmology in scalar-tensor gravity. — Boston: Kluwer, 2004. — ISBN 1-4020-1988-2
  • Carl H. Brans, The roots of scalar-tensor theory: an approximate history. ArXiv. Проверено 14 июня 2005.
п·о·р
Теории гравитации
Стандартные теории гравитации Альтернативные теории гравитации Квантовые теории гравитации Единые теории поля
Классическая физика

Релятивистская физика

Принципы

Классические

Релятивистские

Многомерные

Струнные

Прочие