Теория Галуа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Тео́рия Галуа́ — раздел алгебры, позволяющий переформулировать определенные вопросы теории полей на языке теории групп, делая их в некотором смысле более простыми. Эварист Галуа сформулировал основные утверждения этой теории в терминах перестановок корней заданного многочленарациональными коэффициентами); он был первым, кто использовал термин «группа» для описания множества перестановок, замкнутого относительно композиции и содержащего тождественную перестановку. Более современный подход к теории Галуа заключается в изучении автоморфизмов расширения произвольного поля при помощи группы Галуа, соответствующей данному расширению.

Приложение к классическим задачам[править | править вики-текст]

Теория Галуа даёт единый элегантный подход к решению таких классических задач как

  1. Какие фигуры можно построить циркулем и линейкой?
  2. Какие алгебраические уравнения разрешимы с помощью стандартных алгебраических операций (сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение корня)?

Симметрии корней[править | править вики-текст]

Симметрии корней — такие перестановки на множестве корней многочлена, для которых любому алгебраическому уравнению с рациональными коэффициентами (с несколькими переменными), которому удовлетворяют корни, удовлетворяют и переставленные корни.

Пример: квадратное уравнение[править | править вики-текст]

У многочлена второй степени a x² + b x + c имеются два корня x1 и x2, симметричных относительно точки x=-b/2a. Возможны два варианта:

  • Если эти корни рациональны, то уравнению x-x1=0 удовлетворяет только один корень, и группа уравнения тривиальна.
  • Если корни иррациональны, то группа содержит один нетривиальный элемент x1x2, и изоморфна \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.

Более сложный пример[править | править вики-текст]

Рассмотрим теперь многочлен (x2−5)2−24.

Его корни: a=\sqrt{2}+\sqrt{3}, b=\sqrt{2}-\sqrt{3}, c=-\sqrt{2}+\sqrt{3}, d=-\sqrt{2}-\sqrt{3}.

Существует 4!=24 различных перестановки корней этого уравнения, но не все они являются симметриями. Элементы группы Галуа должны сохранять любые алгебраические уравнения с рациональными коэффициентами.

Одно из таких уравнений — a+d=0. Поскольку a+c≠0, перестановка aa, bb, cd, dc не входит в группу Галуа.

Кроме того, можно заметить, что (a+b)²=8, но (a+c)²=12. Поэтому перестановка aa, bc, cb, dd не входит в группу.

Окончательно можно получить, что группа Галуа многочлена состоит из четырёх перестановок:

(a, b, c, d) → (a, b, c, d)
(a, b, c, d) → (c, d, a, b)
(a, b, c, d) → (b, a, d, c)
(a, b, c, d) → (d, c, b, a)

и является четверной группой Клейна, изоморфной (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\times(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}).

Формулировка в терминах теории полей[править | править вики-текст]

Теория полей даёт более общее определение группы Галуа как группы автоморфизмов произвольного расширения Галуа. В частности, на этом языке можно сформулировать все утверждения, касающиеся «симметрий» корней многочлена. А именно, пусть коэффициенты данного многочлена принадлежат полю K. Рассмотрим алгебраическое расширение L поля K корнями многочлена. Тогда группа Галуа многочлена — это группа автоморфизмов поля L, оставляющих элементы поля K на месте, то есть группа Галуа расширения L\supset K. Например, в предыдущем примере была рассмотрена группа Галуа расширения \mathbb Q(\sqrt 2,\sqrt 3)\supset \mathbb Q.

Ещё более абстрактный подход к теории Галуа был разработан Александром Гротендиком в 1960 году. Этот подход позволяет применить основные результаты теории Галуа к любой категории, обладающей заданными свойствами (например, существованием копроизведений и декартовых квадратов). В частности, это позволяет перенести результаты теории Галуа в теорию накрытий. Для того, чтобы применить эту теорию к категории расширений полей, требуется изучение свойств тензорных произведений полей[en].

Разрешимые группы и решение уравнений в радикалах[править | править вики-текст]

Решения полиномиального уравнения P(x)=0 выражаются в радикалах тогда и только тогда, когда группа Галуа данного уравнения разрешима.

Для любого n существует уравнение n-й степени, группа Галуа которой изоморфна симметрической группе Sn, то есть состоит из всех возможных перестановок. Поскольку группы Sn при n>4 не являются разрешимыми, существуют многочлены степени n, корни которых не представимы при помощи радикалов — теорема Абеля-Руффини.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX века. М.: Наука.