Теория Морса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Тео́рия Мо́рса — общее название теорий, основывающихся на идеях Морса и описывающих связь алгебро-топологических свойств топологического пространства с критическими точками гладкой функции (функционалов) на нём.

Теория Морса является разделом вариационного исчисления в целом; однако последнее шире: например, оно включает в себя теорию категорий в смысле Люстерника — Шнирельмана.

Основные результаты[править | править вики-текст]

  • Если множество f^{-1}([a,b]) компактно, не пересекается с краем многообразия M и содержит ровно одну критическую точку, имеющую индекс Морса k, то f^{-1}(b) диффеоморфно многообразию, полученному из f^{-1}(a) приклеиванием ручки индекса k, см. хирургия.
  • Каждой функции Морса f на гладком многообразии M без края (такой, что все множества f^{-1}(a) компактны) отвечает гомотопически эквивалентное многообразию M клеточное пространство, клетки которого находятся в биективном соответствии с критическими точками функции f, причем размерность клетки равна индексу соответствующей критической точки. Важные следствия этого представления:
    • Неравенства Морса.
    • Инструмент для изучения топологии многообразий. Причем важны не только индексы, но и количество критических точек. Предположим, на замкнутом многообразии задана функция Морса f:M\to R, имеющая в точности m критических точек (индексы которых неизвестны), — как это влияет на топологию многообразия?

Литература[править | править вики-текст]

  • Милнор, Дж. Теория Морса / Пер. с англ. В. И. Арнольда. — 1965. — 184 с.