Теория Морса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Тео́рия Мо́рса — математическая теория, разработаная в 1920-е — 1930-е годы Марстоном Морсом, связывающая алгебро-топологические свойства многообразий и поведение гладких функций на нём в критических точках.

Одно из исторически первых применений методов дифференциальной топологии в анализе. Морс называл теорию «вариационным исчислением в целом» (англ. variation calculus in large), при этом начиная 1960-х годов с обобщением результатов на бесконечномерные многообразия теория Морса стала считаться подразделом глобального анализа — анализа на многообразиях[1]. В свою очередь, в работах Рауля Ботта второй половины 1950-х годов методы теории Морса применены к чисто топологическим задачам, и полученные результаты (прежде всего, теорема периодичности[en]) во многом послужили фундаментом для самостоятельного раздела математики — K-теории.

Выделяются три основных последовательно развившихся направления теории Морса: классическая теория критических точек на гладком многообразии[⇨], теория Морса для геодезических на римановом многообразии, явившаяся применением построений классической теории, и теория Морса на банаховых многообразиях[en], естественно продолжающая теорию геодезических и являющаяся непосредственным обобщением классической теории[2].

Теория критических точек на гладком многообразии[править | править вики-текст]

Ключевой результат теории критических точек на гладком многообразии — лемма Морса, описывающая поведение вещественной функции на многообразии f: M \to \R в невырожденной критической точке b \in M: согласно лемме, существует карта (x_1, x_2, \dots, x_n) для окрестности U \ni b, такая что x_i(b) = 0 для всех i и на всей U имеет место:

f(x) = f(b) - x_1^2 - \cdots - x_{\alpha}^2 + x_{\alpha +1}^2 + \cdots + x_n^2 .

(Здесь \alpha — индекс f в точке b.) Обобщение леммы на гильбертовы пространства — лемма Морса — Пале[en].

Другой важный результат связан с применением перестройки Морса: если множество f^{-1}([a,b]) компактно, не пересекается с краем многообразия M и содержит ровно одну критическую точку, имеющую индекс Морса k, то f^{-1}(b) диффеоморфно многообразию, полученному из f^{-1}(a) приклеиванием ручки индекса k.

Каждой функции Морса f на гладком многообразии M без края (такой, что все множества f^{-1}(a) компактны) отвечает гомотопически эквивалентный многообразию M CW-комплекс, клетки которого находятся во взаимно-однозначном соответствии с критическими точками функции f, причём размерность клетки равна индексу Морса соответствующей критической точки. Важные следствия этого результата — неравенства Морса. Также данный результат предоставляет мощный инструмент для изучения топологии многообразий, причём важны не только индексы, но и количество критических точек. Например, если на замкнутом многообразии задана функция Морса f:M\to R, имеющая в точности m критических точек (индексы которых неизвестны), то:

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Smale S. What is Global Anaysis? (англ.) // American Mathematical Monthly. — 1969. — Т. 76. — № 1. — С. 4—9. — ISSN 0002-9890. — DOI:10.2307/2316777
  2. Морса теория — статья из Математической энциклопедииМ. М. Постников, Ю. Б. Рудяк.

Литература[править | править вики-текст]