Теория Фредгольма

Теория Фредгольма — раздел теории интегральных уравнений; в узком смысле — изучающий интегральные уравнения Фредгольма, в широкой трактовке — представляющий совокупность методов и результатов в спектральной теории операторов Фредгольма и использующих понятие ядер Фредгольма в гильбертовом пространстве.

Названа в честь основного разработчика — шведского математика Эрика Ивара Фредгольма.

Однородные уравнения

Большая часть теории Фредгольма касается нахождения решений интегрального уравнения:

$g(x)=\int _{a}^{b}K(x,y)f(y)\,dy$.

Данное уравнение естественно возникает во многих задачах физики и математики, как обращение дифференциального уравнения. То есть, ставится задача решить дифференциальное уравнение:

$Lg(x)=f(x)$,

где функция $f$ — задана, а $g$ — неизвестна. Здесь $L$ — линейный дифференциальный оператор. Например, можно взять за $L$ эллиптический оператор:

$L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}$,

в таком случае решаемое уравнение становится уравнением Пуассона. Общий метод решения таких уравнений состоит в том, чтобы посредством функций Грина, то есть, не действуя впрямую, попытаться решить уравнение:

$LK(x,y)=\delta (x-y)$,

где $\delta (x)$ — дельта-функция Дирака. Далее:

$g(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy$.

Данный интеграл написан в форме интегрального уравнения Фредгольма. Функция $K(x,y)$ известна как функция Грина, или ядро интеграла.

В общей теории, $x$ и $y$ могут принадлежать любому многообразию; вещественная прямая или $m$-мерное евклидово пространство в простейших случаях. Общая теория также часто требует, чтобы функции принадлежали к заданному функциональному пространству: часто, пространству квадратично интегрируемых функций или пространству Соболева.

Фактически используемое функциональное пространство часто определяется в решении задачи на собственные значения дифференциального оператора; то есть по решениям:

$L\psi _{n}(x)=\omega _{n}\psi _{n}(x)$,

где $\omega _{n}$ — собственные числа, а $\psi _{n}(x)$ — собственные векторы. Множество собственных векторов образует банахово пространство, а, где существует естественное скалярное произведение, то и гильбертово пространство, на котором имеет место теорема Рисса. Примерами таких пространств служат ортогональные многочлены, которые встречаются в виде решений класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

Если задать гильбертово пространство, то ядро может быть записано в форме:

$K(x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}^{*}(x)\psi _{n}(y)}{\omega _{n}}}$,

где $\psi _{n}^{*}$ — двойственен к $\psi _{n}$. В данной форме, объект $K(x,y)$ часто называют оператором Фредгольма или ядром Фредгольма. То, что это то же самое ядро, следует из полноты базиса гильбертова пространства, а именно:

$\delta (x-y)=\sum _{n}\psi _{n}^{*}(x)\psi _{n}(y)$.

Поскольку $\omega _{n}$ обычно возрастает, то результирующие собственные значения оператора $K(x,y)$ убывают к нулю.

Неоднородные уравнения

Неоднородное интегральное уравнение Фредгольма:

$f(x)=-\omega \phi (x)+\int K(x,y)\phi (y)\,dy$

может быть написано формально как:

$f=(K-\omega )\phi$.

Тогда формальное решение:

$\phi ={\frac {1}{K-\omega }}f$.

Решение в этой форме известно как резольвентный формализм, где резольвента определена как оператор

$R(\omega )={\frac {1}{K-\omega I}}$.

Заданному набору собственных векторов и собственных значений $K$ можно сопоставить резольвенту конкретного вида:

$R(\omega ;x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}^{*}(y)\psi _{n}(x)}{\omega _{n}-\omega }}$

с решением:

$\phi (x)=\int R(\omega ;x,y)f(y)\,dy$.

Необходимое и достаточное условие существования такого решения — одна из теорем Фредгольма. Резольвента обычно раскладывается в ряд по степеням $\lambda =1/\omega$, в таком случае она известна как ряд Лиувилля-Неймана. Тогда интегральное уравнение записывается как:

$g(x)=\phi (x)-\lambda \int K(x,y)\phi (y)\,dy$

Резольвента пишется в альтернативной форме:

$R(\lambda )={\frac {1}{I-\lambda K}}$.

Определитель Фредгольма

Определитель Фредгольма обычно определяется как:

$\det(I-\lambda K)=\exp \left[-\sum _{n}{\frac {\lambda ^{n}}{n}}\operatorname {Tr} \,K^{n}\right]$,

где $\operatorname {Tr} \,K=\int K(x,x)\,dx$, $\operatorname {Tr} \,K^{2}=\iint K(x,y)K(y,x)\,dx\,dy$ и так далее. Соответствующая дзета-функция:

$\zeta (s)={\frac {1}{\det(I-sK)}}.$

Дзета-функцию можно рассматривать как определитель резольвенты. Дзета-функция играет важную роль в изучении динамических систем; это тот же общий тип дзета-функции, что и дзета-функция Римана, однако в случае теории Фредгольма соответствующее ядро неизвестно. Существование данного ядра известно как гипотеза Гильберта — Пойа.

Основные результаты

Классические результаты данной теории — это теоремы Фредгольма, одна из которых альтернатива Фредгольма.

Один из важных результатов общей теории это то, что указанное ядро — это компактный оператор, где пространство функций — это пространство равностепенно непрерывных функций.

Выдающимся родственным результатом является теорема об индексе, относящаяся к индексу эллиптических операторов на компактных многообразиях.

История

Статья Фредгольма 1903 года в Acta mathematica — одна из важнейших вех в создании теории операторов. Давид Гильберт развил понятие гильбертова пространства в том числе в связи с исследованием интегральных уравнений Фредгольма.

Ссылки

• E. I. Fredholm, «Sur une classe d’equations fonctionnelles», Acta Mathematica , 27 (1903) pp. 365—390.
• D. E. Edmunds and W.D. Evans (1987), Spectral theory and differential operators, Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2.
• B. V. Khvedelidze, G.L. Litvinov (2001), «Fredholm kernel», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Bruce K. Driver, «Compact and Fredholm Operators and the Spectral Theorem», Analysis Tools with Applications, Chapter 35, pp. 579—600.
• Robert C. McOwen, «Fredholm theory of partial differential equations on complete Riemannian manifolds», Pacific J. Math. 87, no. 1 (1980), 169—185.

Литература

• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.