Теория Ходжа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теория Ходжа занимается изучением дифференциальных форм на гладких многообразиях. Более конкретно, эта теория изучает, каким образом обобщённый лапласиан, ассоциированный с римановой метрикой на многообразии M, влияет на его группы когомологий с вещественными коэффициентами.

Эта теория была разработана Вильямом Ходжем в 1930-ых годах как обобщение когомологий де Рама. Теория Ходжа имеет основные приложения на трёх уровнях:

В ранних работах многообразие M предполагалось замкнутым (то есть компактным и без края). На всех трёх уровнях теория оказала большое влияние на последующие работы, будучи использована Кунихико Кодайрой, и, позднее, многими другими.

Приложения и примеры[править | править вики-текст]

Когомологии де Рама[править | править вики-текст]

Самим Ходжем данная теория формулировалась для комплексов де Рама. Если M — компактное ориентируемое многобразие, снабжённое гладкой метрикой g, и Ωk(M) — пучок гладких дифференциальных форм степени k на M, то комплекс де Рама — это последовательность дифференциальных операторов

 0\rightarrow \mathbb R\xrightarrow{d_{-1}} \Omega^0(M) \xrightarrow{d_0} \Omega^1(M)\xrightarrow{d_1} \cdots\xrightarrow{d_{n-1}} \Omega^n(M)\xrightarrow{d_n} 0

где dk обозначает внешнюю производную на Ωk(M). Тогда когомологии де Рама — это просто последовательность векторных пространств, определённых как

H^k(M)=\frac{\ker d_k}{\mathrm{im}\,d_{k-1}}.

Можно определить оператор, формально сопряжённый внешней производной (внешнему дифференциалу) d, называемый кодифференциалом и обозначаемый \delta: достаточно потребовать, чтобы для всех αΩk(M) и βΩk+1(M) выполнялось соотношение

\int_M \langle d\alpha,\beta\rangle_{k+1} \,dV = \int_M\langle\alpha,\delta\beta\rangle_k \,dV

где \langle \ ,\ \rangle_k — метрика, индуцированная на \Omega^k(M). Теперь лапласиан можно определить как \Delta=d\delta+\delta d. Это позволяет определить пространства гармонических форм:

\mathcal H_\Delta^k(M)=\{\alpha\in\Omega^k(M)\mid\Delta\alpha=0\}.

Можно показать, что d\mathcal H_\Delta^k(M)=0, поэтому существует каноническое отображение \varphi:\mathcal H_\Delta^k(M)\rightarrow H^k(M). Первая часть теоремы Ходжа утверждает, что \varphi — это изоморфизм векторных пространств.

Одно из главных следствий этого состоит в том, что группы когомологий де Рама на компактном многобразии конечномерны. Это следует из того, что операторы \Delta эллиптические, а ядро эллиптического оператора на компактном многообразии всегда конечномерно.

Теория Ходжа для эллиптических комплексов[править | править вики-текст]

Структуры Ходжа[править | править вики-текст]

Абстрактное определение (вещественных) структур Ходжа таково: для вещественного векторного пространства W структура Ходжа на W — это разложение его комплексификации W^{\mathbb C} = W \otimes \mathbb C в \N-градуированную прямую сумму

W^{\C} = \bigoplus_{k=0}^{\infty} \bigoplus_{p=0}^{k} W^{p,k-p}

причём комплексное сопряжение на W^{\C} переставляет градуированные слагаемые W^{p,q} и W^{q,p}:

\overline{W^{p,q}} = W^{q,p}

Основное утверждение состоит в том, что группы сингулярных когомологий с вещественными коэффициентами H^k(V,\R) неособого комплексного проективного многообразия V имеют такую структуру Ходжа:

H^k = \oplus_{p=0}^k H^{p,k-p}

где H^{p,q} — группы когомологий Дольбо многообразия V. Отсюда следует связь между числами Бетти b_k = \dim H^k и h_{p,q} = \dim H^{p,q}:

b_k = \sum_{p=0}^k h_{p,k-p}

Изначально разложение Ходжа возникло из теории гармонических форм (собственных векторов лапласиана в пространстве дифференциальных форм), обобщающих локально постоянные гармонические функции. Доказывается, что каждый класс сингулярных когомологий представим единственной гармонической формой, и что такая форма обязательно имеет корректно определённую биградуировку (p,q) (относительно действия оператора комплексной структуры). Отсюда следует разложение Ходжа. В дальнейшем разложение Ходжа было получено чисто алгебраически, с помощью теории спектральных последовательностей и групп когомологий пучков  H^{q} (V,\Omega^{p}) , в работах Дольбо.

В случае некомпактных многообразий или многообразий с особенностями необходимо заменить структуру Ходжа на смешанную структуру Ходжа, отличающуюся тем, что разложение сингулярных когомологий в прямую сумму заменяется на пару фильтраций. Этот случай используется, например, в теории монодромии[en].

Литература[править | править вики-текст]

  • Ф. Гриффитс, Дж. Харрис. Принципы алгебраической геометрии. — ИО НФМИ, 2000. — Т. 1. — 496 с. — ISBN 5-80323-126-6.
  • К. Вуазен. Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия. — М.: МЦНМО, 2010. — Т. 1. — 344 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-514-6.