Теория Черна — Саймонса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теория Черна — Саймонса — это трехмерная топологическая квантовая теория поля типа Шварца, предложенная Эдвардом Виттеном. Названа в честь геометров Чжень Синшэня (Черна) и Джеймса Саймонса. Теории получила такое название, так как её действие пропорционально форме Черна — Саймонса.

В физике конденсированного состояния теория Черна — Саймонса описывает топологический порядок в состояниях дробного квантового эффекта Холла. С точки зрения математики теория Черна — Саймонса интересна тем, что позволяет вычислять инварианты узлов, такие как полином Джонса.

Теория Черна — Саймонса определяется выбором простой группы Ли G, называемой калибровочной группой теории, и числом k, которое входит как множитель в действие и называется уровнем теории. Действие теории зависит от выбора калибровки, но производящая функция квантовой теории поля однозначно определена при целочисленном значении уровня.

Классическая теория[править | править вики-текст]

Теория Черна — Саймонса может быть задана на произвольном топологическом 3-многообразии M с границей или без. Так как эта теория типа Шварца, нет необходимости во введении метрики на M.

Теория Черна — Саймонса — это калибровочная теория, то есть классические полевые конфигурации в теории на M с калибровочной группой G описываются главным G-расслоением над M. Форму связности главного G-расслоения над M обозначим через A:M\to g, она принимает значения в алгебре Ли g. В общем случае связность A определяется на отдельных картах, значения A на разных картах связаны калибровочными преобразованиями. Калибровочные преобразования характеризуются тем, что ковариантная производная D=d+A преобразуется в присоединенном представлении G.

Тогда действие записывается в виде:


  S=\frac{k}{4\pi}\int_M \mathrm{tr}(A\wedge dA+\frac{2}{3}A\wedge A\wedge A)

Введем кривизну связности


  F=DA=dA+A\wedge A\in \Omega^2(M,g)

Тогда уравнение движения примет вид


  \frac{\delta S}{\delta A}=0=\frac{k}{2\pi}F

Решениями являются плоские связности, которые определяются голономиями вокруг нестягиваемых циклов на M. Плоские связности находятся в однозначном соответствии с классами эквивалентности гомоморфизмов из фундаментальной группы M в калибровочную группу G.

Хотя действие и зависит от калибровки, производящий функционал в квантовой теории хорошо определен при целом k.

Если у M есть граница N=\partial M, то есть дополнительные данные, которые описывают выбор тривиализации главного G-расслоения на N. Такой выбор задает отображение из N в G. Динамика этого отображения описывается WZW-моделью на N с уровнем k.

Рассматрим калибровочное преобразование действия Черна — Саймонса. При калибровочном преобразовании g форма связности A преобразуется как


  A_{\mu}\to g^* A= g^{-1}A_{\mu}g+g^{-1}\partial_{\mu}g

Для действия Черна — Саймонса имеем


  S(g^* A)=S(A) +\frac{k}{4\pi}\int_{\partial M}\mathrm{Tr} (A\wedge dg \; g^{-1})-2\pi k\int_M g^* \sigma

Здесь


  \sigma=\frac{1}{24\pi^2} \mathrm{Tr} (\mu\wedge\mu\wedge\mu)

где \mu=X^{-1} dX, X\in G — форма Маурера — Картана.

Получаем добавку в действие, определенную на границе. Она выглядит как член Весса — Зумино. Из требования калибровочной инвариантности квантовых корреляторов получаем квантование k, так как функциональный интеграл должен быть однозначно определен.

Квантование[править | править вики-текст]

При каноническом квантовании теории Черна — Саймонса состояние определяется на каждой двумерной поверхности \Sigma\subset M. Как в любой квантовой теории поля, состояния соответствуют лучам в гильбертовом пространстве. Так как мы имеем дело с топологической теорией поля типа Шварца, то у нас нет предопределенного выделенного времени, поэтому \Sigma — произвольная поверхность Коши.

Коразмерность \Sigma равна 1, поэтому можно разрезать M вдоль \Sigma и получить многообразие с границей, на котором классическая динамика описывается моделью Весса — Зумино — Новикова — Виттена. Виттен показал, что это соответствие сохраняется и в квантовой механике. То есть гильбертово пространство состояний всегда конечномерно и может быть отождествлено с пространством конформных блоков G-WZW-модели с уровнем k. Конформные блоки — это локально голоморфные и антиголоморфные множители, произведения которых складываются в корреляционные функции двумерной конформной теории поля.

Например, если \Sigma=S^2, то гильбертово пространство одномерно и существует только одно состояние. При \Sigma=T^2 состояния соответствуют интегрируемым представлениям уровня k аффинного расширения алгебры Ли g. Рассмотрение поверхностей более высокого рода не требуется для решения теории Черна — Саймонса.

Наблюдаемые[править | править вики-текст]

Наблюдаемые в теории Черна — Саймонса — это n-точечные функции калибровочно-инвариантных операторов, чаще всего рассматривают петли Вильсона. Петля Вильсона — это голономия вокруг кольца в M, вычисленная в некотором представлении R группы G. Так как мы будем рассматривать произведения петель Вильсона, то мы можем считать представления неприводимыми.


    \langle W_R(K) \rangle =\text{Tr}_R \, P \, \exp{i \oint_K A}

Здесь A- 1-форма связности, мы берем главное значение интеграла по Коши, P \exp — экспонента, упорядоченная вдоль пути.

Рассмотрим зацепление L в M, которое представляет собой набор из l несвязных циклов. Особенно интересна l-точечная корреляционная функция, представляющая собой произведение петель Вильсона в фундаментальном представлении G вокруг этих циклов. Эту корреляционную функцию можно нормировать, разделив ее на 0-точечную функцию (статсумму Z).

Если M — сфера, то такие нормированные функции пропорциональны известным полиномам (инвариантам) узлов. Например, при G=U(N) теория Черна — Саймонса с уровнем k дает


      \frac{\sin(\pi/(k+N))}{\sin(\pi N/(k+N))}\times\;\mbox{HOMFLY polynomial}

При N=2 полином HOMFLY переходит в полином Джонса. В случае SO(N) получается полином Кауффмана.

Литература[править | править вики-текст]