Теория операторов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теория операторов — раздел функционального анализа, который изучает свойства непрерывных линейных отображений между нормированными пространствами. Вообще говоря, оператор — это аналог самой обычной функции или матрицы в конечномерном пространстве. Но оператор может действовать и в бесконечномерных пространствах.

Отображение T из векторного пространства X в векторное пространство Y называется линейным оператором если T(\alpha x+\beta y)=\alpha T(x)+\beta T(y) для любых x и y в X и любых скаляров \alpha и \beta. Часто пишут Tx вместо T(x). Линейный оператор из нормированного пространства X в нормированное пространство Y называется ограниченным если найдется положительное вещественное число M такое что \lVert Tx\rVert\leqslant M\lVert x\rVert для всех x в X. Наименьшая константа M удовлетворяющая такому условию называется нормой оператора T и обозначается \lVert T\rVert. Нетрудно видеть что линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда когда он непрерывен. Под термином «оператор» в функциональном анализе обычно понимают ограниченный линейный оператор.

Множество всех (ограниченных линейных) операторов из нормированного пространства X в нормированное пространство Y обозначается L(X,\;Y). В случае когда X=Y пишут L(X) вместо L(X,\;X). Если H — гильбертово пространство, то обычно пишут B(H) вместо L(H). На L(X,\;Y) можно ввести структуру векторного пространства через (T+S)x=Tx+Sx и (\alpha T)x=T(\alpha x)=\alpha(Tx), где T,\;S\in L(X,\;Y), x,\;y\in X, а \alpha — произвольный скаляр. С введённой операторной нормой L(X,\;Y) превращается в нормированное пространство.

В частности, \lVert S+T\rVert\leqslant\lVert S\rVert+\lVert T\rVert и \lVert\alpha T\rVert=\left|\alpha\right|\cdot\lVert T\rVert для любых T,\;S\in L(X,\;Y) и произвольного скаляра \alpha. Пространство L(X,\;Y) является банаховым тогда и только тогда когда Y — банахово.

Пусть X,\;Y и Z — нормированные пространства, S\in L(X,\;Y) и T\in L(Y,\;Z). Композиция S и T обозначается TS и называется произведением операторов S и T. При этом TS\in L(X,\;Z) и \lVert TS\rVert\leqslant\lVert T\rVert\cdot\lVert S\rVert. Если X — банахово пространство, то L(X), оснащённое произведением, является банаховой алгеброй.

В теории операторов можно выделить несколько основных разделов:

  1. Спектральная теория изучает спектр оператора.
  2. Классы операторов. В частности, компактные операторы, фредгольмовы операторы, изоморфизмы, изометрии, строго сингулярные операторы и т. п. Изучают также неограниченные операторы и частично определенные операторы, в частности замкнутые операторы.
  3. Операторы на специальных нормированных пространствах.
  4. Совокупности операторов (то есть, подмножества L(X)): операторные алгебры, операторные полугруппы и др.
  5. Теория инвариантных подпространств.

Литература[править | править вики-текст]

  • Садовничий В. А. Теория операторов. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979.
  • Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. — М.: ИЛ, 1962. — 896 с.
  • Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Спектральная теория. — М.: Мир. 1966. — 1064 с.