Тест отношения правдоподобия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Тест отношения правдоподобия (англ. Likelihood ratio test, LR) — статистический тест, используемый для проверки ограничений на параметры статистических моделей, оценённых на основе выборочных данных. Является одним из трёх базовых тестов проверки ограничений наряду с тестом множителей Лагранжа и тестом Вальда.

Сущность и процедура теста[править | править исходный текст]

Пусть имеется эконометрическая модель с вектором параметров b. Необходимо проверить по выборочным данным гипотезу H_0:~g(b)=0, где g-совокупность (вектор) некоторых функций параметров. Идея теста основана на сравнении функций правдоподобия для длинной модели (без ограничений) и короткой модели (с ограничениями). Оказывается, что следующая простая статистика отношения правдоподобия

LR=2(l_L-l_S)=2\ln \frac {L_L}{L_S}

где l_L, ~l_S — значения логарифмической функции правдоподобия длинной и короткой моделей соответственно.

при нулевой гипотезе имеет (возможно асимптотически) распределение \chi^2(q) — Хи-квадрат с q степенями свободы (q-количество ограничений). Поэтому, если значение статистики больше критического значения этого распределения при заданном уровне значимости, то ограничения отвергаются, и предпочтение отдается длинной модели. В противном случае предпочтение отдается короткой модели.

Частный случай[править | править исходный текст]

В случае, если случайные ошибки модели являются iid N(0,\sigma^2), то можно показать, что

LR=n \ln \frac {ESS_S}{ESS_L}

В частности, при проверке значимости регрессии ESS_S=TSS, следовательно

LR=n \ln \frac {TSS}{ESS}=n\ln \frac {1}{1-R^2}=-n\ln (1-R^2)

Взаимосвязь с другими тестами[править | править исходный текст]

Доказано, что тест Вальда (W), тест отношения правдоподобия (LR) и тест множителей Лагранжа (LM) — асимптотически эквивалентные тесты (LM=LR=W). Тем не менее, для конечных выборок значения статистик не совпадают. Для линейных ограничений доказано неравенство LM \leqslant LR \leqslant W. Тем самым тест отношения правдоподобия занимает некоторое среднее положение по частоте отвержения нулевой гипотезы по сравнению с тестами множителей Лагранжа и тестом Вальда. В случае нелинейных ограничений первая часть неравенства выполняется, а вторая — вообще говоря, нет.

Вместо LR-теста можно проводить асимптотический F-тест, статистика которого выражается через LR-статистику следующим образом F=\frac {n-k}{q}(e^{LR/n}-1).

Литература[править | править исходный текст]

  • Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. — М.: Дело, 2004. — 576 с.
  • William H. Greene. Econometric analysis. — New York: Pearson Education, Inc., 2003. — 1026 с.