Тетрация

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Тетрация (гипероператор-4) в математике — итерационная функция экспоненты, следующий гипероператор после возведения в степень. Тетрация используется для описания больших чисел.

Термин «тетрация», состоящий из слов «тетра-» (четыре) и «итерация» (повторение), был впервые применён английским математиком Рубеном Гудстейном (англ.) в 1947 году[1].

Определения[править | править исходный текст]

Тетрация как степенная башня[править | править исходный текст]

Для любого положительного вещественного числа a>0 и неотрицательного целого числа n\geqslant 0, тетрацию {}^na\, можно определить рекуррентно:

  • {}^na=1\, (если n=0)
  • {}^na=a^{({}^{n-1}a)}\, (если n>0)

Согласно данному определению, вычисление тетрации, записанной как «степенная башня», возведение в степень начинается с самых дальних уровней к начальному (в данной системе обозначений, с самого наивысшего показателя степени):

{}^42=2^{2^{2^2}}=2^{\left(2^{\left(2^2\right)}\right)}=2^{(2^4)}=2^{16}=65\;536.

При этом, так как возведение в степень не является ассоциативной операцией, то вычисление выражения в другом порядке приведёт к другому ответу:

2^{2^{2^2}}\ne\left((2^2)^2\right)^2=2^{2\cdot2\cdot2}=2^8=256.

Таким образом, степенные башни должны вычисляться сверху-вниз (или справа-налево), то есть, иначе говоря, они обладают правой ассоциативностью.

Тетрация как гипероператор[править | править исходный текст]

\scriptstyle{\lim\limits_{n\to\infty}{^n x}}. Бесконечное возведение в степень для основания \scriptstyle{(1/e)^e\leqslant x\leqslant e^{1/e}}.

Тетрация является четвёртой по счёту гипероперацией:

  1. сложение:
    a+b=a+\underbrace{1+1+\ldots+1}_b;
  2. умножение:
    a\times b=\underbrace{a+a+\ldots+a}_b;
  3. возведение в степень:
    a^b=\underbrace{a\times a\times\ldots\times a}_b;
  4. тетрация:
    {^b a}=\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}}_b.

Здесь каждая операция является итерацией предыдущей.

Свойства[править | править исходный текст]

Терминология[править | править исходный текст]

Существует несколько терминов для определения понятия тетрация и за каждым из них стоит своя логика, но некоторые из них не стали общепринятыми в силу тех или иных причин. Ниже приведено несколько подобных примеров.

  • Термин «тетрация», использованный Рубеном Гудстейном в 1947 году в работе «Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory» (обобщение рекуррентных представлений в теореме Гудстейна, используемых для высших операторов), имеет доминирующее положение в терминологии. Также этот термин был популяризован в работе Руди Руккера (англ. Rudy Rucker) «Infinity and the Mind».
  • Термин «супервозведение в степень» (англ. superexponentiation) был опубликован Бромером (англ. Bromer) в его работе «Superexponentiation» в 1987 году.[2] Данный термин был ранее использован Эдом Нельсоном (англ. Ed Nelson) в своей книге «Предикативная Арифметика» (англ. «Predicative Arithmetic»)[3].
  • Термин «гиперстепень» (англ. hyperpower)[4] есть естественная комбинация понятий «гипер-» и «степень», который подходящим образом описывает тетрацию. Проблема лежит в понятии самого термина «гипер» относительно иерархии гипероператоров. Когда мы рассматриваем гипероператоры, термин «гипер» относится ко всем рангам, а термин «супер» относится к рангу 4, или тетрации. Таким образом, при данных обстоятельствах, понятие «гиперстепень» может ввести в заблуждение, так как оно относится только к понятию тетрация.
  • Термин «степенная башня» (англ. power tower)[5] иногда используется, в форме «степенная башня порядка n» для \underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}}_n.

Тетрацию также часто путают с другими тесно связанными функциями и выражениями. Ниже приведено несколько связанных терминов:

Форма Терминология
a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}} Тетрация
a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a^x}}}}} Итерационные экспоненты
a_1^{a_2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a_n}}}}} Вложенные экспоненты (также башни)
a_1^{a_2^{a_3^{\cdot^{\cdot^\cdot}}}} Бесконечные экспоненты (также башни)

В первых двух выражениях a есть основание, и количество появляющихся a есть высота. В третьем выражении, n есть высота, но все основания разные.

Обозначения[править | править исходный текст]

Системы записи в которых тетрация может быть использована (некоторые из них позволяют использование даже более высоких итераций) включают в себя:

Имя Форма Описание
Стандартная форма записи {}^na\, Использована Мауером (Maurer) [1901] и Гудштейном [1947]; популяризовано в книге Руди Рюкера «Infinity and the Mind».
Стрелочная нотация Кнута a{\uparrow\uparrow}n Позволяет удлинение путём добавление добавочных или индексированных стрелочек, является более мощным способом.
Цепочка Конвея a\to n\to 2 Позволяет удлинение путём прибавления 2 (эквивалентно вышеописанному способу), но также возможно даже более мощный способ записи, если увеличивать цепочку.
Функция Аккермана {}^n2=\mathrm{A}(4,\;n-3)+3 Допускает особый случай a=2 в записи в терминах функции Аккермана.
Итерируемая экспоненциальная форма записи {}^na=\exp_a^n(1) Позволяет простое удлинение до итерационных экспонент начиная со значений отличных от 1.
Обозначения Хусменд (англ. Hooshmand)[6] \mathrm{uxp}_a n,\quad a^\frac{n}{}
Система записи гипероператорами a^{(4)}n,\quad\mathrm{hyper}_4(a,\;n) Позволяет удлинение путём прибавления 4; это даёт семейство гипероператоров.
Система записи ASCII a^^n Так как запись стрелочка наверх используется идентично обозначению корректурного знак вставки (^), оператор тетрация может быть записан в виде (^^).
Нотация массивов Бауэрса/Бёрда[7] {a, b,2} {a, b,c} = a^^^…^^^b (c стрелок сверхстепени).

Одна из вышеприведённых систем использует систему записи итерированных экспонент; в общем случае это определяется следующим образом:

\exp_a^n(x)=\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a^x}}}}}}_n.

Не так много обозначений существует для итерированных экспонент, но несколько из них показаны ниже:

Имя Форма Описание
Стандартная форма записи \exp_a^n(x) Система записи \exp_a(x)=a^x и итерационная система записи f^n(x) была введена Эйлером.
Стрелочная нотация Кнута (a{\uparrow})^n(x) Позволяет для суперстепеней и суперэкспоненциальных функций увеличивать число стрелочек.
Гипер-Е нотация E(a)x#n
Система записи Иоанна Галидакиса (англ. Ioannis Galidakis) {}^n(a,\;x) Допускает использование больших выражений в основании.[8]
ASCII (добавочный) a^^n@x Основана на взгляде, что итерационная экспонента есть добавочная тетрация.
ASCII (стандартный) exp_a^n(x) Основана на стандартной форме записи.

Примеры[править | править исходный текст]

В нижеприведённой таблице большинство значений слишком огромны, чтобы их записать в экспоненциальном представлении, по этой причине используется система записи в виде итерационных экспонент, чтобы представить их с основанием 10. Значения, содержащие десятичную запятую, являются приблизительными.

x {}^2x\, {}^3x\, {}^4x\,
1 1 1 1
2 4 16 65 536
3 27 7 625 597 484 987 \exp_{10}^3(1{,}09902)
4 256 \exp_{10}^2(2{,}18788) \exp_{10}^3(2{,}18726)
5 3 125 \exp_{10}^2(3{,}33931) \exp_{10}^3(3{,}33928)
6 46 656 \exp_{10}^2(4{,}55997) \exp_{10}^3(4{,}55997)
7 823 543 \exp_{10}^2(5{,}84259) \exp_{10}^3(5{,}84259)
8 16 777 216 \exp_{10}^2(7{,}18045) \exp_{10}^3(7{,}18045)
9 387 420 489 \exp_{10}^2(8{,}56784) \exp_{10}^3(8{,}56784)
10 10 000 000 000 \exp_{10}^3(1) \exp_{10}^4(1)

Открытые проблемы[править | править исходный текст]

  • Неизвестно, являются ли nπ или ne целыми числами при каком-либо положительном целом n. Неизвестно даже, является ли {^4\pi}=\pi^{\pi^{\pi^\pi}} целым.
  • Неизвестно, может ли {^n q} быть рациональным числом, если n — целое число, большее 3, а q — рациональное, но не целое число (для n=2,\,3 ответ отрицателен)[9].
  • Ни для какого целого n>3 неизвестно, является ли положительный корень уравнения {^n x}=2 рациональным, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом.

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Goodstein R. L. (1947). «Transfinite ordinals in recursive number theory». Journal of Symbolic Logic 12. DOI:10.2307/2266486.
  2. Bromer N. (1987). «Superexponentiation». Mathematics Magazine 60 (3): 169–174.
  3. Nelson E. Predicative Arithmetic. — Princeton University Press, 1986.
  4. MacDonnell J. F. (1989). «Somecritical points of the hyperpower function \scriptstyle{x^{x^{\dots}}}». International Journal of Mathematical Education 20 (2): 297–305. MR994348.
  5. Weisstein, Eric W. Power Tower (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  6. Hooshmand M. H. (2006). «Ultra power and ultra exponential functions». Integral Transforms and Special Functions 17 (8): 549–558. DOI:10.1080/10652460500422247.
  7. http://mrob.com/users/chrisb/Linear_Array_Notation.pdf
  8. Galidakis I. On Extending hyper4 and Knuth’s Up-arrow Notation to the Reals.
  9. Marshall, Ash J., and Tan, Yiren, "A rational number of the form aa with a irrational", Mathematical Gazette 96, March 2012, pp. 106-109.

Ссылки[править | править исходный текст]