Тетрация

Тетрация (гипероператор-4) в математике — итерационная функция экспоненты, следующий гипероператор после возведения в степень. Тетрация используется для описания больших чисел.

Термин «тетрация», состоящий из слов «тетра-» (четыре) и «итерация» (повторение), был впервые применён английским математиком Рубеном Гудстейном (англ.) в 1947 году.

Определения

Тетрация как степенная башня

Для любого положительного вещественного числа $a>0$ и неотрицательного целого числа $n\geqslant 0$, тетрацию ${}^na\,$ можно определить рекуррентно:

• ${}^na=1\,$ (если $n=0$)
• ${}^na=a^{({}^{n-1}a)}\,$ (если $n>0$)

Согласно данному определению, вычисление тетрации, записанной как «степенная башня», возведение в степень начинается с самых дальних уровней к начальному (в данной системе обозначений, с самого наивысшего показателя степени):

${}^42=2^{2^{2^2}}=2^{\left(2^{\left(2^2\right)}\right)}=2^{(2^4)}=2^{16}=65\;536.$

При этом, так как возведение в степень не является ассоциативной операцией, то вычисление выражения в другом порядке приведёт к другому ответу:

$2^{2^{2^2}}\ne\left((2^2)^2\right)^2=2^{2\cdot2\cdot2}=2^8=256.$

Таким образом, степенные башни должны вычисляться сверху-вниз (или справа-налево), то есть, иначе говоря, они обладают правой ассоциативностью.

Тетрация как гипероператор

$\scriptstyle{\lim\limits_{n\to\infty}{^n x}}$. Бесконечное возведение в степень для основания $\scriptstyle{(1/e)^e\leqslant x\leqslant e^{1/e}}$.

Тетрация является четвёртой по счёту гипероперацией:

1. сложение:

   $a+b=a+\underbrace{1+1+\ldots+1}_b;$

2. умножение:

   $a\times b=\underbrace{a+a+\ldots+a}_b;$

3. возведение в степень:

   $a^b=\underbrace{a\times a\times\ldots\times a}_b;$

4. тетрация:

   ${^b a}=\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}}_b.$

Здесь каждая операция является итерацией предыдущей.

Свойства

• Тетрация не считается элементарной функцией (за исключением случаев с постоянным натуральным показателем, когда тетрация выражается в виде степенной башни постоянной высоты).
• В силу некоммутативности тетрация имеет две обратных операции — суперлогарифм и суперкорень.

Терминология

Существует несколько терминов для определения понятия тетрация и за каждым из них стоит своя логика, но некоторые из них не стали общепринятыми в силу тех или иных причин. Ниже приведено несколько подобных примеров.

• Термин «тетрация», использованный Рубеном Гудстейном в 1947 году в работе «Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory» (обобщение рекуррентных представлений в теореме Гудстейна, используемых для высших операторов), имеет доминирующее положение в терминологии. Также этот термин был популяризован в работе Руди Руккера (англ. Rudy Rucker) «Infinity and the Mind».
• Термин «супервозведение в степень» (англ. superexponentiation) был опубликован Бромером (англ. Bromer) в его работе «Superexponentiation» в 1987 году. Данный термин был ранее использован Эдом Нельсоном (англ. Ed Nelson) в своей книге «Предикативная Арифметика» (англ. «Predicative Arithmetic»).
• Термин «гиперстепень» (англ. hyperpower) есть естественная комбинация понятий «гипер-» и «степень», который подходящим образом описывает тетрацию. Проблема лежит в понятии самого термина «гипер» относительно иерархии гипероператоров. Когда мы рассматриваем гипероператоры, термин «гипер» относится ко всем рангам, а термин «супер» относится к рангу 4, или тетрации. Таким образом, при данных обстоятельствах, понятие «гиперстепень» может ввести в заблуждение, так как оно относится только к понятию тетрация.
• Термин «степенная башня» (англ. power tower) иногда используется, в форме «степенная башня порядка $n$» для $\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}}_n$.

Тетрацию также часто путают с другими тесно связанными функциями и выражениями. Ниже приведено несколько связанных терминов:

Форма	Терминология
$a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}$	Тетрация
$a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a^x}}}}}$	Итерационные экспоненты
$a_1^{a_2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a_n}}}}}$	Вложенные экспоненты (также башни)
$a_1^{a_2^{a_3^{\cdot^{\cdot^\cdot}}}}$	Бесконечные экспоненты (также башни)

В первых двух выражениях $a$ есть основание, и количество появляющихся $a$ есть высота. В третьем выражении, $n$ есть высота, но все основания разные.

Обозначения

Системы записи в которых тетрация может быть использована (некоторые из них позволяют использование даже более высоких итераций) включают в себя:

Имя	Форма	Описание
Стандартная форма записи	${}^na\,$	Использована Мауером (Maurer) [1901] и Гудштейном [1947]; популяризовано в книге Руди Рюкера «Infinity and the Mind».
Стрелочная нотация Кнута	$a{\uparrow\uparrow}n$	Позволяет удлинение путём добавление добавочных или индексированных стрелочек, является более мощным способом.
Цепочка Конвея	$a\to n\to 2$	Позволяет удлинение путём прибавления 2 (эквивалентно вышеописанному способу), но также возможно даже более мощный способ записи, если увеличивать цепочку
Функция Аккермана	${}^n2=\mathrm{A}(4,\;n-3)+3$	Допускает особый случай $a=2$ в записи в терминах функции Аккермана.
Итерируемая экспоненциальная форма записи	${}^na=\exp_a^n(1)$	Позволяет простое удлинение до итерационных экспонент начиная со значений отличных от 1.
Обозначения Хусменд (англ. Hooshmand)	$\mathrm{uxp}_a n,\quad a^\frac{n}{}$
Система записи гипероператорами	$a^{(4)}n,\quad\mathrm{hyper}_4(a,\;n)$	Позволяет удлинение путём прибавления 4; это даёт семейство гипероператоров.
Система записи ASCII	a^^n	Так как запись стрелочка наверх используется идентично обозначению корректурного знак вставки (^), оператор тетрация может быть записан в виде (^^).
Нотация массивов Бауэрса/Бёрда	{a,b,2}	{a,b,c} = a^^^...^^^b (c стрелок сверхстепени).

Одна из вышеприведённых систем использует систему записи итерированных экспонент; в общем случае это определяется следующим образом:

$\exp_a^n(x)=\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a^x}}}}}}_n.$

Не так много обозначений существует для итерированных экспонент, но несколько из них показаны ниже:

Имя	Форма	Описание
Стандартная форма записи	$\exp_a^n(x)$	Система записи $\exp_a(x)=a^x$ и итерационная система записи $f^n(x)$ была введена Эйлером.
Стрелочная нотация Кнута	$(a{\uparrow})^n(x)$	Позволяет для суперстепеней и суперэкспоненциальных функций увеличивать число стрелочек.
Гипер-Е нотация	E(a)x#n
Система записи Иоанна Галидакиса (англ. Ioannis Galidakis)	${}^n(a,\;x)$	Допускает использование больших выражений в основании.
ASCII (добавочный)	a^^n@x	Основана на взгляде, что итерационная экспонента есть добавочная тетрация.
ASCII (стандартный)	exp_a^n(x)	Основана на стандартной форме записи.

Примеры

В нижеприведённой таблице большинство значений слишком огромны, чтобы их записать в экспоненциальном представлении, по этой причине используется система записи в виде итерационных экспонент, чтобы представить их с основанием 10. Значения, содержащие десятичную запятую, являются приблизительными.

$x$	${}^2x\,$	${}^3x\,$	${}^4x\,$
1	1	1	1
2	4	16	65 536
3	27	7 625 597 484 987	$\exp_{10}^3(1{,}09902)$
4	256	$\exp_{10}^2(2{,}18788)$	$\exp_{10}^3(2{,}18726)$
5	3 125	$\exp_{10}^2(3{,}33931)$	$\exp_{10}^3(3{,}33928)$
6	46 656	$\exp_{10}^2(4{,}55997)$	$\exp_{10}^3(4{,}55997)$
7	823 543	$\exp_{10}^2(5{,}84259)$	$\exp_{10}^3(5{,}84259)$
8	16 777 216	$\exp_{10}^2(7{,}18045)$	$\exp_{10}^3(7{,}18045)$
9	387 420 489	$\exp_{10}^2(8{,}56784)$	$\exp_{10}^3(8{,}56784)$
10	10 000 000 000	$\exp_{10}^3(1)$	$\exp_{10}^4(1)$

Открытые проблемы

• Неизвестно, являются ли ⁿπ или ⁿe целыми числами при каком-либо положительном целом n. Неизвестно даже, является ли ${^4\pi}=\pi^{\pi^{\pi^\pi}}$ целым.
• Неизвестно, может ли ${^n q}$ быть рациональным числом, если $n$ — целое число, большее 3, а $q$ — рациональное, но не целое число (для $n=2,\,3$ ответ отрицателен).
• Ни для какого целого $n>3$ неизвестно, является ли положительный корень уравнения ${^n x}=2$ рациональным, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом.

См. также

• Гипероператор
• Функция Аккермана

Ссылки

• Сайт про тетрацию Эндрю Робинса.
• Сайт про тетрацию Даниэля Гэйслера.
• Форум по обсуждению тетрации.
• Кузнецов Д. Тетрация как специальная функция // Владикавказский математический журнал. — 2010.