Тетраэдрические числа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Пирамида с длиной стороны 5 содержит 35 сфер. Каждый слой представляет одно из первых пяти треугольных чисел.

Тетраэдрические числа — это фигурное число, которое представляет пирамиду, в основании которой лежит треугольник.

Пример нескольких первых тетраэдрических чисел:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, … (последовательность A000292 в OEIS)

Формула[править | править вики-текст]

Формула для n-го тетраэдрического числа:

T_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}.

Также формула может быть выражена через биномиальные коэффициенты:

T_n=\binom{n+2}{3}.

Тетраэдрические числа находятся на 4-ой позиции в треугольнике Паскаля.

Свойства[править | править вики-текст]

  • n-е тетраэдрическое число представляет собой сумму первых n треугольных чисел.
  • Только три тетраэдрических числа являются квадратными числами:
    T1 = 1² = 1
    T2 = 2² = 4
    T48 = 140² = 19600.
  • Пять чисел являются треугольными (последовательность A027568 в OEIS):
    Te1 = Tr1 = 1
    Te3 = Tr4 = 10
    Te8 = Tr15 = 120
    Te20 = Tr55 = 1540
    Te34 = Tr119 = 7140
  • Единственным пирамидальным числом, которое одновременно квадратное и кубическое, является число 1.
  • Можно заметить, что:
    T5 = T4 + T3 + T2 + T1.
  • Бесконечная сумма обратных величин к тетраэдрическим числам равна 3/2, что может быть получено с помощью телескопического ряда:
     \!\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{6}{n(n+1)(n+2)} = \frac{3}{2}.

Многомерное обобщение[править | править вики-текст]

В качестве многомерного обобщения треугольных и тетраэдрических чисел может рассматриваться количество k-мерных сфер, которые могут быть упакованы в k-мерный симплекс. Для k-мерного пространства n-е число может быть вычислено по следующей формуле:

T_n (k)=\frac{\prod_{i=0}^{k-1} (n+i)}{k!}.

Ссылки[править | править вики-текст]