Тождества Уорда — Такахаши — Славнова — Тейлора

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Тождества Уорда — Такахаши — Славнова — Тейлора — соотношения между вакуумными средними хронологических произведений операторов поля, обеспечивающие калибровочную инвариантность квантовой теории. В квантовой электродинамике эти соотношения, называемые Уорда тождествами и тождествами Уорда — Такахаши, являются прямым следствием сохранения тока, с которым взаимодействует калибровочное поле. Они выражают дивергенцию функции Грина с n внешними фотонными линиями через функции Грина с n - 1 внешей фотонной линией. Простейшее тождество Уорда — Такахаши, связывающее вершинную часть \Gamma_\mu и собственную энергию электрона \Sigma, имеет вид:

\Gamma_\mu (p,p) = - \frac{\partial}{\partial p^\mu} \Sigma(p) \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)

где p — 4-импульс электрона. Из тождества Уорда — Такахаши следуют соотношения между константами перенормировки: \delta m = 0, \ Z_1 = Z_2 , где \delta m,\ Z_1,\ Z_2 — соответственно константы перенормировки массы фотона, вершинной функции, волновой функции электрона.

В отличие от электродинамики, в квантовой теории неабелевых калибровочных полей ток, с которым взаимодействует поле Янга — Миллса, не сохраняется. Поэтому простые тождества типа (1) не справедливы. Их аналогом являются тождества Славнова-Тейлора, выражающие дивергенцию функции Грина с n внешними линиями поля Янга — Миллса через функции Грина с числом внешних линий \geqslant n, включающие помимо полей Янга — Миллса вспомогательые поля (духи Фаддеева — Попова). Тождества Славнова — Тейлора для полей Янга — Миллса можно записать в виде:

\int \exp \left[ i \int \left( \mathcal{L}(A) + \frac{1}{2 \alpha} (\partial_\mu A_\mu)^2 + \mathcal{L}_c + I_\mu^a A_\mu^a \right) dx \right] \left[-\frac{1}{\alpha} \partial_{\mu}A_{\mu}^a(x) \right. +
 + \left. \int \bar{c}^a(x) I_{\mu}^b \left( \partial_{\mu} c^b(y) g t^{bcd} A_{\mu}^c(y)c^d(y) \right) d y \right] d A d \bar{c} d c \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (2)

где \mathcal{L}(A) — классический лагранжиан Янга — Миллса, \mathcal{L}_c — лагранжиан духов Фаддеева — Попова, c, \bar{c} — духи Фаддеева — Попова; I — внешние источники, g — константа взаимодействия.

Из тождеств Славнова — Тейлора следуют соотношения между константами перенормировки полей Янга — Миллса и духов Фаддеева — Попова: \delta m = 0,\ Z_1 Z_2^{-1} = \tilde{Z}_1 \tilde{Z}_2^{-1}, \ Z_4 = Z_1^2 Z_2^{-1}, где \delta m — константа перенормировки массы поля Янга — Миллса, Z_2, Z_1, Z_4 — соответственно константы перенормировки волновой функции и вершинных частей с тремя и четырьмя внешними линиями поля Янга — Миллса, а \tilde{Z}_1 \tilde{Z}_2 — константы перенормировки волновой функции духов Фаддеева — Попова и вершинной части с одной внешней линией поля Янга — Миллса и двумя линиями духов Фаддеева — Попова.

Тождества Славнова — Тейлора выражают симметрию эффективного действия, стоящего в экспоненте в формуле (2), относительно преобразований, перепутывающих поля Янга — Миллса и духи Фаддеева — Попова, — так называемых преобразований БРСТ. Эти тождества гарантируют калибровочную инвариантность перенормированной теории и играют ключевую роль в доказательстве унитарности матрицы рассеяния.

Литература[править | править вики-текст]

  1. Физическая энциклопедия под ред. А. М. Прохорова.
  2. Тейлор Дж., Калибровочные теории слабых взаимодействий, пер. с англ., M., 1978
  3. Славнов А. А., Фаддеев Л. Д., Введение в квантовую теорию калибровочных полей, 2 изд., M., 1988
  4. Ициксон К., Зюбер Ж. Б., Квантовая теория поля, пер. с англ., т. 1-2, M., 1984.

Ссылки[править | править вики-текст]