Тождество Бохнера

Тождество Бохнера — общее название семейства тождеств в римановой геометрии, связывающих лапласианы разных типов и кривизну. Тождества получаемыe интегрированием тождества Бохнера иногда называются тождествами Рейли.

Формулировка

Пусть $S$ есть расслоение Дирака над римановым многообразием $M$, $D$ — соответствующий оператор Дирака, и тогда

$D^{2}\phi =\nabla ^{*}\nabla \phi +{\mathfrak {R}}(\phi )$

для любого сечения $\phi \colon M\to S$.

Обозначения

Далее $e_{i}$ обозначает ортонормированный репер в точке.

• $\nabla$ обозначает связность на $S$, и

  $\nabla ^{*}\nabla \phi =-\sum _{i}\nabla _{e_{i}}\nabla _{e_{i}}\phi ,$

так называемый лапласиан по связности.

• ${\mathfrak {R}}$ — сечение $\mathrm {Hom} (S,S)$, определяемое как

  ${\mathfrak {R}}(\phi )={\tfrac {1}{2}}\cdot \sum _{i,j}e_{i}.e_{j}.R_{e_{i},e_{k}}\phi ,$

где «$.$» обозначает умножение Клиффорда, и

$R_{X,Y}=\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}$

— преобразование кривизны.

• $D$ — оператор Дирака на $S$, то есть

  $D\phi =\sum _{i}e_{i}.\nabla _{e_{i}}\phi .$

и $D^{2}\phi =\Delta \phi$ лапласиан Ходжа на дифференциальных формах

Следствия

• Из тождества Бохнера для градиента функции $u$ получаем следующую интегральную формулу для любого замкнутого многообразия

  $\int \limits _{M}|\Delta u|^{2}-\int \limits _{M}|\mathrm {Hess} \,u|^{2}=\int \limits _{M}{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u)$,

где $\mathrm {Hess} \,u$ обозначает гессиан $u$.

• Если $u\colon M\rightarrow \mathbb {R}$ — гармоническая функция, то

  $\Delta ({\tfrac {1}{2}}\cdot |\nabla u|^{2})=|\nabla ^{2}u|^{2}+{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u)$,

где $\nabla u$ обозначает градиент $u$. В частности:

• Компактные многообразия с положительной кривизной Риччи не допускают ненулевых гармонических функций.
• Если $u$ — гармоническая функция на многообразии с положительной кривизной Риччи, то функция $|\nabla u|$ субгармоническая.

• Из формулы Бохнера следует, что на компактных многообразиях с положительным оператором кривизны отсутствуют гармонические формы любой степени, то есть оно является рационально гомологической сферой.
  • Другим методом, а именно потоком Риччи, удалось доказать что любое такое многообразие диффеоморфно фактору сферы по конечной группе.

Литература

• H. Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn. Spin geometry. — 1989.