Тождество Кассини

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Тождество Кассини — тождество, утверждающее что для n-ого числа Фибоначчи выполняется следующее соотношение:

F_{n-1}F_{n+1} - F_n^2 = (-1)^n.

Тождество Каталана обобщает это соотношение:

F_n^2 - F_{n-r}F_{n+r} = (-1)^{n-r}F_r^2.\,

История[править | править вики-текст]

Формула Кассини была открыта в 1680 году Джованни Кассини, бывшим в то время директором Парижской обсерватории, доказана Робертом Симсоном в 1753 году. В 1879 году Эжен Каталан обобщил результат.

Доказательство[править | править вики-текст]

Быстрое доказательство тождества Кассини можно дать, если представить левую часть тождества в виде определителя 2×2 матрицы из чисел Фибоначчи. Результат получим мгновенно, когда увидим, что эта матрица является n-ой степенью матрицы с определителем −1:

F_{n-1}F_{n+1} - F_n^2
=\det\left[\begin{matrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{matrix}\right]
=\det\left[\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}\right]^n
=\left(\det\left[\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}\right]\right)^n
=(-1)^n.

Ссылки[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]