Тождество Кассини

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Тождество Кассини — тождество, утверждающее что для n-ого числа Фибоначчи выполняется следующее соотношение:

F_{n-1}F_{n+1} - F_n^2 = (-1)^n.[1]

Тождество Каталана обобщает это соотношение:

F_n^2 - F_{n-r}F_{n+r} = (-1)^{n-r}F_r^2.

Формула Кассини была открыта в 1680 году[2] Джованни Кассини, бывшим в то время директором Парижской обсерватории, доказана Робертом Симсоном в 1753 году. В 1879 году Эжен Каталан обобщил результат.

Быстрое доказательство тождества Кассини можно дать, если представить левую часть тождества в виде определителя матрицы из чисел Фибоначчи размером 2×2, показав, что эта матрица является n-ой степенью матрицы с определителем −1[1]:

F_{n-1}F_{n+1} - F_n^2
=\det\left[\begin{matrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{matrix}\right]
=\det\left[\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}\right]^n
=\left(\det\left[\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}\right]\right)^n
=(-1)^n

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Кнут, 1976
  2. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник Конкретная математика. — Москва: Мир, 1998. — С. 324, глава 6.6 Числа Фибоначчи.

Литература[править | править вики-текст]

  • Д. Кнут Искусство программирования для ЭВМ. — Москва: Мир, 1976. — Т. 1 Основные алгоритмы. — С. 114 (раздел 1.2.8).
  • R. Simson, H. Philip An Explication of an Obscure Passage in Albert Girard’s Commentary upon Simon Stevin’s Works. — 1753. — В. 0. — Т. 48. — С. 368–376. — DOI:10.1098/rstl.1753.0056
  • M. Werman, D. Zeilberger A bijective proof of Cassini's Fibonacci identity // Discrete Mathematics. — 1986. — В. 1. — Т. 58. — С. 109. — DOI:10.1016/0012-365X(86)90194-9

Ссылки[править | править вики-текст]