Тождество четырёх квадратов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Тождество Эйлера (кватернионы)»)
Перейти к: навигация, поиск

Тождество Эйлера о четырёх квадратах — математическая теорема о том, что

произведение сумм четырёх квадратов является суммой четырёх квадратов.

Действительно:

(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)*(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)\,
=(a_1 b_1-a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4)^2 + (a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3)^2\,
+\,(a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 + a_4 b_2)^2 + (a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2 + a_4 b_1)^2\,

Тождество выполняется для элементов любого коммутативного кольца, однако если a_i и b_i — действительные числа, тогда тождество может быть переформулировано в терминах кватернионов, а именно: модуль произведения двух кватернионов равен произведению модулей сомножителей:

|ab|= |a||b| .

Аналогичные тождества[править | править вики-текст]

  • «тождество одного квадрата»
a^2\cdot b^2=(a b)^2
означает, что модуль произведения двух действительных чисел равен произведению модулей сомножителей:
|ab|= |a||b| ,
(a_1^2+a_2^2)\cdot(b_1^2+b_2^2)=(a_1b_1-a_2b_2)^2+(a_1b_2+a_2b_1)^2
означает, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей:
|ab|= |a||b| ,

Во всех этих случаях итоговые функции (чья сумма квадратов и равна произведению квадратов исходных сумм) есть билинейные функции исходных переменных.

Однако аналогичного «тождества шестнадцати квадратов» нет. Зато есть схожая (для 2^N квадратов при любом натуральном N) существенно иная форма, уже лишь для рациональных функции исходных переменных — по теореме А. Пфистера.[1]

История[править | править вики-текст]

Тождество было выведено Эйлером в 1750 году. Это было сделано почти за 100 лет до появления кватернионов.

Тождество Эйлера было использовано Лагранжем в доказательстве его теоремы о сумме четырёх квадратов.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. См., например: В. В. Прасолов. Многочлены Гл.7 (п.23.2)