Тождество Эйлера (комплексный анализ)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Экспоненциальная функция ez может быть определена как предел последовательности (1 + z/N)N, при N стремящемуся к бесконечности, и поэтому e есть предел (1 + iπ/N)N. На каждом кадре этой анимации изображены числа (1 + iπ/N)k, где k пробегает от 0 до N, а N принимает различные возрастающие значения от 1 до 100.

Тождество Эйлера — известное тождество, связывающее пять фундаментальных математических констант:

e^{i \pi} + 1 = 0, \,\!

где

e\,\! — число е, или основание натурального логарифма,
i\,\! — мнимая единица,
\pi\,\! — пи, отношение длины окружности к длине ее диаметра,
1\,\! — единица, нейтральный элемент по операции умножения,
0\,\! — нуль, нейтральный элемент по операции сложения.

История[править | править вики-текст]

Формула Эйлера, из которой сразу следует данное тождество, была опубликована Эйлером в 1740 году. Тождество произвело глубокое впечатление на научный мир. Были даже попытки мистически истолковать его как символ единства математики: числа 0 и 1 относятся к арифметике, мнимая единица — к алгебре, число \pi — к геометрии, а число e — к математическому анализу[1].

Вывод[править | править вики-текст]

Euler's formula.svg

Тождество Эйлера — это особый случай формулы Эйлера из комплексного анализа:

e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!

для любого вещественного x. (Заметим, что аргументы тригонометрических функций \sin и \cos взяты в радианах). В частности

e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!

А из того, что

\cos \pi = -1  \, \!

и

\sin \pi = 0,\,\!

следует

e^{i \pi} = -1,\,\!

что даёт тождество:

e^{i \pi} +1 = 0.\,\!

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Данциг, Тобиас. Числа - язык науки. — М.: Техносфера, 2008. — С. 111. — ISBN 978-5-94836-172-7.