Тождество Якоби

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Билинейная операция [\cdot,\cdot]\colon V \times V \rightarrow V на линейном пространстве V называется удовлетворяющей тождеству Якоби, если:

\forall \, x,y,z \in V\colon [[x,y],z] + [[y,z],x] + [[z,x],y] = 0

Названо в честь Карла Густава Якоби.

Понятие тождества Якоби обычно связано с алгебрами Ли.

Примеры[править | править исходный текст]

Следующие операции удовлетворяют тождеству Якоби:

Значение в алгебрах Ли[править | править исходный текст]

Если умножение [\cdot,\cdot] антикоммутативно, то тождеству Якоби можно придать несколько другой вид, используя присоединённое представление алгебры Ли:

\mathrm{ad}_x \colon y \mapsto [x,y]

Записав тождество Якоби в форме

[x,[y,z]] = [y,[x,z]] + [[x,y],z]

получим, что оно равносильно условию выполнения правила Лейбница для оператора \mathrm{ad}_x:

\mathrm{ad}_x\,[y,z] = [\mathrm{ad}_x\,y,z] + [y, \mathrm{ad}_x\,z]

Таким образом, \mathrm{ad}_x — это дифференцирование в алгебре Ли. Любое такое дифференцирование называется внутренним.

Тождеству Якоби также можно придать вид

\mathrm{ad}_{[x,y]} = [\mathrm{ad}_x, \mathrm{ad}_y] = \mathrm{ad}_x \mathrm{ad}_y - \mathrm{ad}_y \mathrm{ad}_x

Это означает, что оператор \mathrm{ad} задаёт гомоморфизм данной алгебры Ли в алгебру Ли её дифференцирований.

Градуированное тождество Якоби[править | править исходный текст]

Пусть \Omega = \oplus_{i} \Omega^iградуированная алгебра, [\cdot,\cdot] - умножение в ней. Говорят, что умножение в \Omega удовлетворяет градуированному тождеству Якоби, если для любых элементов \omega_i \in \Omega^i

[\omega_m,[\omega_k,\omega_l] = [[\omega_m,\omega_k],\omega_l] + (-1)^{m k}[\omega_k,[\omega_m,\omega_l]

Примеры[править | править исходный текст]