Тождество Якоби

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Билинейная операция на линейном пространстве V называется удовлетворяющей тождеству Якоби, если:

Названо в честь Карла Густава Якоби.

Понятие тождества Якоби обычно связано с алгебрами Ли.

[править] Примеры

Следующие операции удовлетворяют тождеству Якоби:

• Коммутатор операторов
• коммутатор в алгебре Ли
• Скобки Ли векторных полей
• Скобки Пуассона функций на симплектическом многообразии
• Векторное произведение векторов

[править] Значение в алгебрах Ли

Если умножение антикоммутативно, то тождеству Якоби можно придать несколько другой вид, используя присоединённое представление алгебры Ли:

Записав тождество Якоби в форме

[x,[y,z]] = [y,[x,z]] + [[x,y],z]

получим, что оно равносильно условию выполнения правила Лейбница для оператора ad_x:

Таким образом, ad_x — это дифференцирование в алгебре Ли. Любое такое дифференцирование называется внутренним.

Тождеству Якоби также можно придать вид

ad_[x,y] = [ad_x,ad_y] = ad_xad_y − ad_yad_x

Это означает, что оператор ad задаёт гомоморфизм данной алгебры Ли в алгебру Ли её дифференцирований.

[править] Градуированное тождество Якоби

Пусть — градуированная алгебра, - умножение в ней. Говорят, что умножение в Ω удовлетворяет градуированному тождеству Якоби, если для любых элементов

[ω_m,[ω_k,ω_l] = [[ω_m,ω_k],ω_l] + ( − 1)^mk[ω_k,[ω_m,ω_l]

[править] Примеры

• алгебра внешних форм;
• алгебра дифференцирований дифференциальных форм;
• алгебра тангенциальнозначных форм с умножением, задаваемым FN-скобками или NR-скобками;

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.