Тождество восьми квадратов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Тождество восьми квадратов — математическая теорема о том, что

произведение сумм восьми квадратов является суммой восьми квадратов.


Доказательство[править | править вики-текст]

Действительно:

(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2+a_6^2+a_7^2+a_8^2)\cdot (b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2+b_5^2+b_6^2+b_7^2+b_8^2)=\,
(a_1b_1 -a_2b_2 -a_3b_3 -a_4b_4 -a_5b_5 -a_6b_6 -a_7b_7 -a_8b_8)^2+\,
(a_2b_1 +a_1b_2 +a_4b_3 -a_3b_4 +a_6b_5 -a_5b_6 -a_8b_7 +a_7b_8)^2+\,
(a_3b_1 -a_4b_2 +a_1b_3 +a_2b_4 +a_7b_5 +a_8b_6 -a_5b_7 -a_6b_8)^2+\,
(a_4b_1 +a_3b_2 -a_2b_3 +a_1b_4 +a_8b_5 -a_7b_6 +a_6b_7 -a_5b_8)^2+\,
(a_5b_1 -a_6b_2 -a_7b_3 -a_8b_4 +a_1b_5 +a_2b_6 +a_3b_7 +a_4b_8)^2+\,
(a_6b_1 +a_5b_2 -a_8b_3 +a_7b_4 -a_2b_5 +a_1b_6 -a_4b_7 +a_3b_8)^2+\,
(a_7b_1 +a_8b_2 +a_5b_3 -a_6b_4 -a_3b_5 +a_4b_6 +a_1b_7 -a_2b_8)^2+\,
(a_8b_1 -a_7b_2 +a_6b_3 +a_5b_4 -a_4b_5 -a_3b_6 +a_2b_7 +a_1b_8)^2\,

История[править | править вики-текст]

Впервые открытое датским математиком Фердинандом Дегеном (дат.) около 1818 года, это замечательное тождество было «переоткрыто» ещё два раза: сначала Томасом Грейвсом (англ.) в 1843 году, а затем Артуром Кэли в 1845 году. Кэли вывел его, работая над обобщением кватернионов, названным октонионами. В алгебраических терминах тождество означает, что норма произведения двух октонионов равняется произведению их норм: \|ab\| = \|a\|\|b\|.

Подобное утверждение верно для кватернионов («тождество четырёх квадратов»), комплексных чисел («тождество двух квадратов») и действительных чисел. В 1898 году Адольф Гурвиц доказал, что подобного тождества не существует ни для 16 (седенионы), ни для любого другого числа квадратов, кроме 1, 2, 4 и 8.

Ссылки[править | править вики-текст]