Тождество параллелограмма

Параллелограмм

Тождество параллелограмма — одно из равенств в векторной алгебре и векторном анализе.

В евклидовой геометрии

Сумма квадратов длин сторон параллелограмма равна сумме квадратов длин его диагоналей.

$\ (AB)^{2}+(BC)^{2}+(CD)^{2}+(DA)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2}.$

В пространствах со скалярным произведением

Иллюстрация к тождеству параллелограмма

В векторных пространствах со скалярным произведением это тождество выглядит так:

$2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2},$

где

$\|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .$

В нормированных пространствах (поляризационное тождество)

В нормированном пространстве (V, $\|\cdot \|$), для которого справедливо тождество параллелограмма, можно ввести скалярное произведение $\langle x,\ y\rangle$, порождающее эту норму, то есть такое что $\|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle$ всех векторов $x$ пространства $V$. Эта теорема приписывается Фреше, фон Нейману и Йордану. Это можно сделать следующем способом:

• для действительного пространства

  $\langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 4},$ или ${\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2} \over 2},$ или ${\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 2}.$

• для комплексного пространства

  $\langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 4}+i{\|ix-y\|^{2}-\|ix+y\|^{2} \over 4}.$

Вышеуказанные формулы, выражающие скалярное произведение двух векторов в терминах нормы, называются поляризационным тождеством.

Очевидно, что норма, выраженная через любое скалярное произведение следующим образом $\ \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle$, будет удовлетворять этому тождеству.

Поляризационное тождество часто используется для превращения банаховых пространств в гильбертовы.

Обобщение

Если B — симметричная билинейная форма в векторном пространстве, а квадратичная форма Q выражена как

$\ Q(v)=B(v,v)$,

тогда

${\begin{array}{l}4B(u,v)=Q(u+v)-Q(u-v),\\2B(u,v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v),\\2B(u,v)=Q(u)+Q(v)-Q(u-v).\end{array}}$

См. также

• Теорема Эйлера о четырёхугольниках — обобщение тождества на случай произвольных четырёхугольников.

Ссылки

• Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве / Векторная алгебра (рус.)

Литература

• Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.