Тонкая структура

В атомной физике тонкая структура (мультиплетное расщепление) описывает расщепление спектральных линий атомов.

Макроскопическая структура спектральных линий — это число линий и их расположение. Она определяется разницей в энергетических уровнях различных атомных орбиталей. Однако при более детальном исследовании каждая линия проявляет свою детальную тонкую структуру. Эта структура объясняется малыми взаимодействиями, которые немного сдвигают и расщепляют энергетические уровни. Их можно анализировать методами теории возмущений. Тонкая структура атома водорода на самом деле представляет собой две независимые поправки к боровским энергиям: одна из-за релятивистского движения электрона, а вторая из-за спин-орбитального взаимодействия.

Релятивистские поправки

В классической теории кинетический член гамильтониана:

$T=\frac{p^{2}}{2m}$

Однако, учитывая СТО, мы должны использовать релятивистское выражение для кинетической энергии,

$T=\sqrt{p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}-mc^{2}$

где первый член — это общая релятивистская энергия, а второй член — это энергия покоя электрона. Раскладывая это в ряд, получаем

$T=\frac{p^{2}}{2m}-\frac{p^{4}}{8m^{3}c^{2}}+\dots$

Тогда поправка первого порядка к гамильтониану равна

$H'=-\frac{p^{4}}{8m^{3}c^{2}}$

Используя это как возмущение, мы можем вычислить релятивистские энергетические поправки первого порядка.

$E_{n}^{(1)}=\langle\psi^{0}\vert H'\vert\psi^{0}\rangle=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert p^{4}\vert\psi^{0}\rangle=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert\psi^{0}\rangle$

где $\psi^{0}$ — невозмущенная волновая функция. Вспоминая невозмущенный гамильтониан, мы видим

$H^{0}\vert\psi^{0}\rangle=E_{n}\vert\psi^{0}\rangle$

$\left(\frac{p^{2}}{2m}+U\right)\vert\psi^{0}\rangle=E_{n}\vert\psi^{0}\rangle$

$p^{2}\vert\psi^{0}\rangle=2m(E_{n}-U)\vert\psi^{0}\rangle$

Далее мы можем использовать этот результат для вычисления релятивистской поправки:

$E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert\psi^{0}\rangle$

$E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert (2m)^{2}(E_{n}-U)^{2}\vert\psi^{0}\rangle$

$E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{2mc^{2}}(E_{n}^{2}-2E_{n}\langle U\rangle +\langle U^{2}\rangle )$

Для атома водорода, $U=\frac{e^{2}}{r}$, $\langle U\rangle=\frac{e^{2}}{a_{0}n^{2}}$ и $\langle U^{2}\rangle=\frac{e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}$ где $a_{0}$ — боровский радиус, $n$ — главное квантовое число и $l$ — орбитальное квантовое число. Следовательно, релятивистская поправка для атома водорода равна

$E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{2mc^{2}}\left(E_{n}^{2}-2E_{n}\frac{e^{2}}{a_{0}n^{2}} +\frac{e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}\right)=-\frac{E_{n}^{2}}{2mc^{2}}\left(\frac{4n}{l+1/2}-3\right)$

Связь спин-орбита

Поправка спин-орбита появляется, когда мы из стандартной системы отсчёта (где электрон облетает вокруг ядра) переходим в систему, где электрон покоится, а ядро облетает вокруг него. В этом случае движущееся ядро представляет собой эффективную петлю с током, которая в свою очередь создаёт магнитное поле. Однако электрон сам по себе имеет магнитный момент из-за спина. Два магнитных вектора, $\vec B$ и $\vec\mu_s$ сцепляются вместе так, что появляется определённая энергия, зависящая от их относительной ориентации. Так появляется энергетическая поправка вида

$\Delta E_{SO} = \xi (r)\vec L \cdot \vec S$

Литература

• Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). — Prentice Hall, 2004. — ISBN ISBN 0-13-805326-X
• Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics. — Addison-Wesley, 2002. — ISBN ISBN 0-8053-8714-5

Ссылки

• Hyperphysics: Fine Structure