Тонкая структура

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В атомной физике тонкая структура (мультиплетное расщепление) описывает расщепление спектральных линий атомов.

Макроскопическая структура спектральных линий — это число линий и их расположение. Она определяется разницей в энергетических уровнях различных атомных орбиталей. Однако при более детальном исследовании каждая линия проявляет свою детальную тонкую структуру. Эта структура объясняется малыми взаимодействиями, которые немного сдвигают и расщепляют энергетические уровни. Их можно анализировать методами теории возмущений. Тонкая структура атома водорода на самом деле представляет собой две независимые поправки к боровским энергиям: одна из-за релятивистского движения электрона, а вторая из-за спин-орбитального взаимодействия.

Релятивистские поправки[править | править исходный текст]

В классической теории кинетический член гамильтониана: T=\frac{p^{2}}{2m}

Однако, учитывая СТО, мы должны использовать релятивистское выражение для кинетической энергии, T=\sqrt{p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}-mc^{2}

где первый член — это общая релятивистская энергия, а второй член — это энергия покоя электрона. Раскладывая это в ряд, получаем

T=\frac{p^{2}}{2m}-\frac{p^{4}}{8m^{3}c^{2}}+\dots

Отсюда, поправка первого порядка к гамильтониану равна H'=-\frac{p^{4}}{8m^{3}c^{2}}

Используя это как возмущение, мы можем вычислить релятивистские энергетические поправки первого порядка.

E_{n}^{(1)}=\langle\psi^{0}\vert H'\vert\psi^{0}\rangle=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert p^{4}\vert\psi^{0}\rangle=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert\psi^{0}\rangle

где \psi^{0} — невозмущенная волновая функция. Вспоминая невозмущенный гамильтониан, мы видим

H^{0}\vert\psi^{0}\rangle=E_{n}\vert\psi^{0}\rangle

\left(\frac{p^{2}}{2m}+U\right)\vert\psi^{0}\rangle=E_{n}\vert\psi^{0}\rangle

p^{2}\vert\psi^{0}\rangle=2m(E_{n}-U)\vert\psi^{0}\rangle

Далее, мы можем использовать этот результат для вычисления релятивистской поправки:

E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert\psi^{0}\rangle

E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert (2m)^{2}(E_{n}-U)^{2}\vert\psi^{0}\rangle

E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{2mc^{2}}(E_{n}^{2}-2E_{n}\langle U\rangle +\langle U^{2}\rangle )

Для атома водорода, U=\frac{e^{2}}{r}, \langle U\rangle=\frac{e^{2}}{a_{0}n^{2}} и \langle U^{2}\rangle=\frac{e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}} где a_{0} — боровский радиус, n — главное квантовое число и l — орбитальное квантовое число. Следовательно, релятивистская поправка для атома водорода равна

E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{2mc^{2}}\left(E_{n}^{2}-2E_{n}\frac{e^{2}}{a_{0}n^{2}} +\frac{e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}\right)=-\frac{E_{n}^{2}}{2mc^{2}}\left(\frac{4n}{l+1/2}-3\right)

Связь спин-орбита[править | править исходный текст]

Поправка спин-орбита появляется, когда мы из стандартной системы отсчёта (где электрон облетает вокруг ядра) переходим в систему, где электрон покоится, а ядро облетает вокруг него. В этом случае движущееся ядро представляет собой эффективную петлю с током, которая в свою очередь создаёт магнитное поле. Однако электрон сам по себе имеет магнитный момент из-за спина. Два магнитных вектора, \vec B и \vec\mu_s сцепляются вместе так, что появляется определённая энергия, зависящая от их относительной ориентации. Так появляется энергетическая поправка вида  \Delta E_{SO} = \xi (r)\vec L \cdot \vec S

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). — Prentice Hall, 2004. — ISBN ISBN 0-13-805326-X
  • Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics. — Addison-Wesley, 2002. — ISBN ISBN 0-8053-8714-5

Ссылки[править | править исходный текст]