Топология Зарисского

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей.

Тополо́гия Зари́сского в математике, именно, в алгебраической геометрии — специальная топология, отражающая алгебраическую природу алгебраических многообразий. Названа в честь Оскара Зарисского и заняла важное место в этой области в 1950-х.

[править] Классическое определение

В классической алгебраической геометрии (т. е. до «революции Гротендика» в конце 1950-х и 1960-х) топология определялась следующим образом. Так как сам предмет имел два раздела, занимавшихся, соответственно, аффинными и проективными многообразиями, топология Зарисского определяется несколько по-разному для каждого из типов многообразий. Далее предполагается, что мы работаем над фиксированным алгебраически замкнутым полем K, под которым в классической алгебраической геометрии почти всегда подразумевались комплексные числа.

[править] Аффинное пространство

Топология Зарисского на аффинном пространстве  над полем K — структура топологического пространства, множество замкнутых подмножеств которой совпадает с множеством алгебраических множеств данного пространства, то есть множеств вида

где S это множество полиномов от n переменных над K.

Если M — непустое подмножество аффинного пространства Aⁿ, то топологией Зарисского на нём называется индуцированная топология.

[править] Проективное пространство

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.

[править] Современное определение

Современное определение основывается на понятии спектра кольца. Пусть дано некоторое коммутативное кольцо с единицей. Спектром кольца называется множество его всех простых идеалов, а сами эти идеалы — точками спектра. Так как каждый собственный идеал, например нулевой, по известной теореме содержится в максимальном, значит, простом идеале, поэтому спектр любого кольца не пуст. Топология Зарисского вводится следующим образом — замкнутыми множествами спектра считаются множества всех простых идеалов, содержащих некоторое множество E или, что то же самое порождённый им идеал I.

Нетрудно проверить все аксиомы. Например, то что объединение двух замкнутых множеств замкнуто следует из цепочки очевидных включений

V(aÇb)ÌV(ab)ÌV(a)ÈV(b)ÌV(aÇb), отсюда V(a)ÈV(b)=V(aÇb)

Эта топология, как правило нехаусдорфова. Например, в кольце два открытых непустых множества пересекаются. Однако компактен для любого A (в отсутствии хаусдорфовости это свойство обычно называется «квазикомпактностью»).

С ранее рассмотренной топологией на аффинном пространстве топология Зарисского на , где K алгебраически замкнуто, связывается очень просто. Для любого аффинного многообразия X рассмотрим множество многочленов , которые равны 0 на X (разумеется, ему принадлежат и наши многочлены P_i, определяющие X). Это множество, очевидно, является идеалом I(X). Рассмотрим фактор-кольцо

называемое кольцом координатных функций на X. Пусть образами переменных x_i будут α_i. Построим отображение X на

где X' — множество всех максимальных идеалов P(X), следующим образом: каждой точке x сопоставим m_x — максимальный идеал функций, не равных нулю на x. Ясно что различным x соответствуют различные m_x. То что это отображение будет сюръективным (отображением на), то есть каждый максимальный идеал в X' будет m_x для некоторого x следует из теоремы Гильберта о нулях. Таким образом топология Зарисского была определена на множестве всех максимальных идеалов Specm.

Распространение топологии Зарисского со на было введено для выполнения следующего функториального свойства, чтобы каждому гомоморфизму соответствовало непрерывное отображение . Для простого спектра построение тривиально — берётся прообраз простого идеала, для максимального так не получается, так как прообраз максимального идеала не обязательно максимален.

[править] История

Эта топология впервые была рассмотрена Зарисским как топология в множестве нормирований поля алгебраических функций. На простом спектре её определил Гротендик. Так как эта топология, как было отмечено, «плохо себя ведёт», то он ввёл понятие этальной топологии.

[править] Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
• Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — М.: Наука, 1972.
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.

Это незавершённая статья по геометрии. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.