Топология Зарисского

Тополо́гия Зари́сского в алгебраической геометрии — специальная топология, отражающая алгебраическую природу алгебраических многообразий. Названа в честь Оскара Зарисского и заняла важное место в этой области в 1950-х.

Классическое определение

В классической алгебраической геометрии (то есть до «революции Гротендика» в конце 1950-х и 1960-х) топология определялась следующим образом. Так как сам предмет имел два раздела, занимавшихся, соответственно, аффинными и проективными многообразиями, топология Зарисского определяется несколько по-разному для каждого из типов многообразий. Далее предполагается, что мы работаем над фиксированным алгебраически замкнутым полем K, под которым в классической алгебраической геометрии почти всегда подразумевались комплексные числа.

Аффинное пространство

Топология Зарисского на аффинном пространстве $\mathbb{A}^n$ над полем K — структура топологического пространства, множество замкнутых подмножеств которой совпадает с множеством алгебраических множеств данного пространства, то есть множеств вида

$V(S) = \{x \in \mathbb{A}^n \mid \forall f \in S:\; f(x) = 0\},$

где S это множество полиномов от n переменных над K.

Если $M$ — непустое подмножество аффинного пространства $A^n$, то топологией Зарисского на нём называется индуцированная топология.

Современное определение

Современное определение основывается на понятии спектра кольца. Пусть дано некоторое коммутативное кольцо с единицей. Спектром кольца $\mathrm{Spec}\,A$ называется множество его всех простых идеалов, а сами эти идеалы — точками спектра. Так как каждый собственный идеал, например нулевой, по известной теореме содержится в максимальном, значит, простом идеале, поэтому спектр любого кольца не пуст. Топология Зарисского вводится следующим образом — замкнутыми множествами спектра считаются множества всех простых идеалов, содержащих некоторое множество $E$ или, что то же самое порождённый им идеал $I$.

$V(I) = \{P \in \mathrm{Spec}\,(A) \mid I \subset P\}$

Нетрудно проверить все аксиомы. Например, то что объединение двух замкнутых множеств замкнуто следует из цепочки очевидных включений

$V(a \cap b) \subset V(a b) \subset V(a) \cup V(b) \subset V(a \cap b)$, отсюда $V(a) \cup V(b) = V(a \cap b)$.

Эта топология, как правило нехаусдорфова. Например, в кольце $\mathbb Z$ два открытых непустых множества пересекаются. Однако $\mathrm{Spec}\,A$ компактен для любого $A$ (в отсутствие хаусдорфовости это свойство обычно называется «квазикомпактностью»).

С ранее рассмотренной топологией на аффинном пространстве топология Зарисского на $\mathrm{Spec}\,K[x_1,\dots,x_n]$, где $K$ алгебраически замкнуто, связывается очень просто. Для любого аффинного многообразия $X$ рассмотрим множество многочленов $F(x_1,\ldots,x_n)$, которые равны 0 на $X$ (разумеется, ему принадлежат и наши многочлены $P_i$, определяющие $X$). Это множество, очевидно, является идеалом $I(X)$. Рассмотрим фактор-кольцо

$P(X) = K[x_1,\ldots,x_n]/I(X)$

называемое кольцом координатных функций на $X$. Пусть образами переменных $x_i$ будут $\alpha_i$. Построим отображение $X$ на

$X^\prime = \mathrm{Specm}\, P(X)\cap \mathrm{Spec}\,P(X)$

где $X'$ — множество всех максимальных идеалов $P(X)$, следующим образом: каждой точке $x$ сопоставим $m_x$ — максимальный идеал функций, не равных нулю на $x$. Ясно что различным $x$ соответствуют различные $m_x$. То что это отображение будет сюръективным (отображением на), то есть каждый максимальный идеал в $X'$ будет $m_x$ для некоторого $x$ следует из теоремы Гильберта о нулях. Таким образом топология Зарисского была определена на множестве всех максимальных идеалов $\mathrm{Specm}$.

Распространение топологии Зарисского со $\mathrm{Specm}\,A$ на $\mathrm{Spec}\,A$ было введено для выполнения следующего функториального свойства, чтобы каждому гомоморфизму $A \to B$ соответствовало непрерывное отображение $\mathrm{Spec}\,B \to \mathrm{Spec}\,A$. Для простого спектра построение тривиально — берётся прообраз простого идеала, для максимального так не получается, так как прообраз максимального идеала не обязательно максимален.

История

Эта топология впервые была рассмотрена Зарисским как топология в множестве нормирований поля алгебраических функций. На простом спектре её определил Гротендик. Так как эта топология, как было отмечено, «плохо себя ведёт», то он ввёл понятие этальной топологии.

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
• Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — М.: Наука, 1972.
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.