Тороидальная система координат

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Тороидальная система координат — ортогональная система координат в пространстве, координатными поверхностями которой являются торы, сферы и полуплоскости. Данная система координат может быть получена посредством вращения двумерной биполярной системы координат вокруг оси, равноудалённой от фокусов биполярной системы.

Определение[править | править исходный текст]

Тороидальной система координат (\alpha, \beta, \varphi) определяется посредством формул перехода из этих координат в декартовы координаты:

x = \frac{c \, \mathrm{sh} \, \alpha \cos \varphi}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta} \quad \quad
y = \frac{c \, \mathrm{sh} \, \alpha \sin \varphi}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta} \quad \quad
z = \frac{c \sin \beta}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta}
,

где c > 0 — масштабный множитель, который необходимо фиксировать для выбора определённой тороидальной системы координат, 0\leqslant\alpha < \infty, -\pi < \beta \leqslant \pi, -\pi < \varphi \leqslant\pi.

Свойства[править | править исходный текст]

Координатные поверхности[править | править исходный текст]

\alpha = \mathrm{const}торы

(\sqrt{x^2 + y^2} - c \, \mathrm{cth} \, \alpha)^2 + z^2 = \left( \frac{c}{\mathrm{sh} \, \alpha} \right)^2,

\beta = \mathrm{const}сферы

(z - c \, \mathrm{cth} \, \beta)^2 + x^2 + y^2 = \left( \frac{c}{\sin \beta} \right)^2,

\varphi = \mathrm{const}полуплоскости

\frac{x}{\cos \varphi} = \frac{y}{\sin \varphi} .

Дифференциальные характеристики[править | править исходный текст]

g_{ij}= \begin{pmatrix}
\frac{c^2}{(\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta)^2} & 0 & 0\\ 
0 & \frac{c^2}{(\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta)^2}   & 0\\
 0 & 0 & \frac{c^2 \mathrm{sh}^2 \alpha }{(\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta)^2} 
\end{pmatrix},\quad
g^{ij}=\begin{pmatrix}
\frac{(\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta)^2}{c^2} & 0 & 0\\
 0 & \frac{(\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta)^2}{c^2}  & 0\\
 0 & 0 & \frac{(\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta)^2}{c^2 \, \mathrm{sh}^2 \, \alpha} 
\end{pmatrix}.

Он является диагональным, так как тороидальная система координат является ортогональной.

  • Квадрат линейного элемента:
ds^2 = \frac{c^2}{(\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta)^2} (d \alpha^2 + d \beta^2 + \mathrm{sh}^2 \alpha \, d \varphi^2).
  • Квадрат элемента площади:
dS^2 = \frac{c^4}{(\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta)^4} ((d \alpha \, d \beta)^2 + \mathrm{sh}^2 \alpha (d \alpha \, d \varphi)^2 + \mathrm{sh}^2 \alpha (d \beta \, d \varphi)^2).
  • Элемент объёма:
dV = \frac{c^3 \mathrm{sh} \, \alpha}{(\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta)^3} d \alpha \, d \beta \, d \varphi.
h_{\alpha} = h_{\beta} = \frac{c}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta}, \quad h_{\varphi} = \frac{c \, \mathrm{sh} \, \alpha}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta} .
\frac{\partial(x, y, z)}{ \partial(\alpha, \beta, \varphi)} = \frac{c^3 \mathrm{sh} \, \alpha}{(\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta)^3}.
\Gamma^1_{ij}= \begin{pmatrix}
0 & -\frac{\sin \beta}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta} & 0\\ 
-\frac{\sin \beta}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta} & \frac{\mathrm{sh} \, \alpha}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta}  & 0\\
0 & 0 & \frac{\mathrm{sh} \, \alpha (\mathrm{ch} \, \alpha \cos \beta - 1)}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta}
\end{pmatrix},

\Gamma^2_{ij}= \begin{pmatrix}
 \frac{\sin \beta}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta} & -\frac{\mathrm{sh} \, \alpha}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta} & 0\\ 
-\frac{\mathrm{sh} \, \alpha}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta} & 0 & 0\\
0 & 0 &  \frac{ \mathrm{sh}^2 \alpha \sin \beta}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta}
\end{pmatrix},

\Gamma^3_{ij}= \begin{pmatrix}
0 & 0 & -\frac{1}{(\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta)\mathrm{sh}^2 \alpha}\\ 
0 & 0 & - \frac{\sin \beta}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta}\\
-\frac{1}{(\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta)\mathrm{sh}^2 \alpha} & - \frac{\sin \beta}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta} & 0
\end{pmatrix}.

Вид дифференциальных операторов в тороидальных координатах[править | править исходный текст]

  • Градиент скалярной функции в тороидальных координатах задается следующим выражением:
\operatorname{grad}\,U(\alpha,\; \beta,\; \varphi) = \frac{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta}{c} \left(\frac{\partial U}{\partial \alpha}\vec{e}_{\alpha} + \frac{\partial U}{\partial \beta}\vec{e}_{\beta} + \frac{1}{\mathrm{sh} \, \alpha}\frac{\partial U}{\partial \varphi}\vec{e}_{\varphi} \right).
\ \operatorname{div} \mathbf F = \frac{(\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta)^2}{c^2 \, \mathrm{sh} \, \alpha} \left( \frac{\partial F_{\alpha}}{\partial \alpha} + \frac{\partial F_{\beta}}{\partial \beta} + \, \mathrm{sh} \, \alpha \frac{\partial F_{\varphi}}{\partial \varphi} \right) - \frac{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta}{c^2 \, \mathrm{sh} \, \alpha} (F_{\alpha} \, \mathrm{sh} \, \alpha - F_{\beta} \sin \beta)
\Delta u =  \frac{(\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta)^3}{c^2 \, \mathrm{sh} \, \alpha}  \left( \frac{\partial}{\partial \alpha} \left( \frac{\, \mathrm{sh} \, \alpha}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta} \frac{\partial u}{\partial \alpha} \right) + \frac{\partial}{\partial \beta} \left( \frac{\, \mathrm{sh} \, \alpha}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta} \frac{\partial u}{\partial \beta} \right) + \frac{1}{(\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta) \, \mathrm{sh} \, \alpha} \frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2} \right)

Дифференциальные уравнения в тороидальных координатах[править | править исходный текст]

Уравнение Лапласа в тороидальных координатах имеет вид:

\left( \frac{\partial}{\partial \alpha} \left( \frac{\, \mathrm{sh} \, \alpha}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta} \frac{\partial u}{\partial \alpha} \right) + \frac{\partial}{\partial \beta} \left( \frac{\, \mathrm{sh} \, \alpha}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta} \frac{\partial u}{\partial \beta} \right) + \frac{1}{(\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta) \, \mathrm{sh} \, \alpha} \frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2} \right) = 0

Решение удобно искать в виде:

 u = v \sqrt{2 \mathrm{ch} \alpha - 2 \cos \beta},

тогда уравнение для функции v:

 v_{\alpha \alpha} + v_{\beta \beta} + v_{\alpha} \mathrm{cth} \, \alpha + \frac{1}{4} v + \frac{1}{\mathrm{sh}^2 \alpha} v_{\varphi \varphi} = 0.

После чего можно разделить переменные:

 v = A(\alpha)B(\beta)\Phi(\varphi).

В результате получится система:

\begin{cases}
A'' + \, \mathrm{cth} \, \alpha \, A' + \left(\frac{1}{4}-\frac{k_{\varphi}^2}{\mathrm{sh}^2 \alpha} - k_{\beta}^2\right) A = 0\\
B'' + k_{\beta}^2 B = 0 \\
\Phi'' + k_{\varphi}^2 \Phi = 0
\end{cases}

В случае уравнения Гельмгольца в тороидальных координатах переменные не делятся.

Литература[править | править исходный текст]

  • Корн Г., Корн Т. Глава 6. Системы криволинейных координат. 6.5 Формулы для ортогональных систем координат // Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — С. 195. — 832 с.
  • Морс Ф. М., Фешбах Г. Глава 5. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Таблица разделяющих координат для трёх измерений // Методы теоретической физики. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1958. — Т. 1. — С. 622. — 930 с.
  • Тихонов А. Н., Самарский А. А. Часть IV. Формулы, таблицы, графики. IV. Различные ортогональные системы координат // Уравнения математической физики. — 7-е изд. — М.: Изд-во МГУ; Наука, 2004. — С. 732-733. — 798 с. — ISBN 5-211-04843-1

Ссылки[править | править исходный текст]