Точечная оценка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

То́чечная оце́нка в математической статистике — это число, вычисляемое на основе наблюдений, предположительно близкое к оцениваемому параметру.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть X_1,\ldots,X_n,\ldots — случайная выборка из распределения, зависящего от параметра \theta \in \Theta. Тогда статистику \hat{\theta}(X_1,\ldots, X_n), принимающую значения в \displaystyle\Theta, называют точечной оценкой параметра \theta

Замечание[править | править вики-текст]

Формально статистика \hat{\theta} может не иметь ничего общего с интересующим нас значением параметра \theta. Её полезность для получения практически приемлемых оценок вытекает из дополнительных свойств, которыми она обладает или не обладает.

Свойства точечных оценок[править | править вики-текст]

  • Оценка \hat{\theta}=\hat\theta(X) называется несмещённой, если её математическое ожидание равно оцениваемому параметру генеральной совокупности:
\mathbb{E}_\theta\left[\hat{\theta}\right] = \theta,\quad \forall \theta \in \Theta,
где \mathbb{E}_\theta обозначает математическое ожидание в предположении, что \theta — истинное значение параметра (распределения выборки X).
  • Оценка \hat{\theta} называется эффективной, если она обладает минимальной дисперсией среди всех возможных несмещенных точечных оценок.
  • Оценка \hat{\theta}_n=\hat{\theta}_n(X_1,\dots,X_n) называется состоятельной, если она по вероятности с увеличением объема выборки n стремится к параметру генеральной совокупности: \forall \theta \in \Theta,
\hat{\theta}_n \to \theta по вероятности при n \to \infty.
\hat{\theta}_n \to \theta почти наверное при n \to \infty.

Надо отметить, что проверить на опыте сходимость «почти наверное» не представляется возможным, поэтому с точки зрения прикладной статистики имеет смысл говорить только о сходимости по вероятности.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1969. — 576 с.