Точечная оценка

То́чечная оце́нка в математической статистике — это число, вычисляемое на основе наблюдений, предположительно близкое к оцениваемому параметру.

Определение

Пусть $X_1,\ldots,X_n,\ldots$ — случайная выборка из распределения, зависящего от параметра $\theta \in \Theta$. Тогда статистику $\hat{\theta}(X_1,\ldots, X_n)$, принимающую значения в $\displaystyle\Theta$, называют точечной оценкой параметра $\theta$

Замечание

Формально статистика $\hat{\theta}$ может не иметь ничего общего с интересующим нас значением параметра $\theta$. Её полезность для получения практически приемлемых оценок вытекает из дополнительных свойств, которыми она обладает или не обладает.

Свойства точечных оценок

• Оценка $\hat{\theta}=\hat\theta(X)$ называется несмещённой, если её математическое ожидание равно оцениваемому параметру генеральной совокупности:

$\mathbb{E}_\theta\left[\hat{\theta}\right] = \theta,\quad \forall \theta \in \Theta$,

где $\mathbb{E}_\theta$ обозначает математическое ожидание в предположении, что $\theta$ — истинное значение параметра (распределения выборки $X$).

• Оценка $\hat{\theta}$ называется эффективной, если она обладает минимальной дисперсией среди всех возможных несмещенных точечных оценок.
• Оценка $\hat{\theta}_n=\hat{\theta}_n(X_1,\dots,X_n)$ называется состоятельной, если она по вероятности с увеличением объема выборки n стремится к параметру генеральной совокупности: $\forall \theta \in \Theta$,

$\hat{\theta}_n \to \theta$ по вероятности при $n \to \infty$.

• Оценка $\hat{\theta}_n$ называется сильно состоятельной, если $\forall \theta \in \Theta$,

$\hat{\theta}_n \to \theta$ почти наверное при $n \to \infty$.

Надо отметить, что проверить на опыте сходимость «почти наверное» не представляется возможным, поэтому с точки зрения прикладной статистики имеет смысл говорить только о сходимости по вероятности.

См. также

• Интервальная оценка ^ru_en

Литература

• Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1969. — 576 с.