Точечная оценка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

То́чечная оце́нка в математической статистике - это число, вычисляемое на основе наблюдений, предположительно близкое оцениваемому параметру.

[править] Определение

Пусть $X_1,\ldots,X_n,\ldots$ - выборка из распределения, зависящего от параметра $\theta \in \Theta$ . Тогда статистику $\hat{\theta}(X_1,\ldots, X_n)$ называют точечной оценкой параметра $θ$

[править] Замечание

Формально статистика $\hat{\theta}$ может не иметь ничего общего с интересующим нас значением параметра $θ$ . Её полезность для получения практически приемлемых оценок вытекает из дополнительных свойств, которыми она обладает или не обладает.

[править] Свойства точечных оценок

Оценка $\hat{\theta}$ называется несмещённой, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру генеральной совокупности:

$\mathbb{E}\left[\hat{\theta}\right] = \theta,\quad \forall \theta \in \Theta$ ,

где $\mathbb{E}$ обозначает математическое ожидание.

Оценка $\hat{\theta}$ называется эффективной, если она обладает минимальной дисперсией среди всех возможных точечных оценок.
Оценка $\hat{\theta}$ называется состоятельной, если она по вероятности с увеличением объема выборки n стремится к параметру генеральной совокупности: $\forall \theta \in \Theta$ ,