Точка округления

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Точка округления (круговая точка, омбилическая точка или омбилика; название «омбилика» происходит от лат. «umbilicus» ― «пуп») ― точка на гладкой регулярной поверхности в евклидовом пространстве, в которой нормальные кривизны по всем направлениям равны.

Свойства[править | править вики-текст]

Омбилические точки и сеть линий кривизны поверхности. В случае общего положения существуют три топологические различные типа особенности, называемые лимон, звезда и монстар.[1]

В точке округления:

Примеры[править | править вики-текст]

В евклидовом пространстве с метрикой ds^2 = dx^2+dy^2+dx^2:

  • Сфера целиком состоит из эллиптических точек округления.
  • Трёхосный эллипсоид с попарно различными осями имеет ровно 4 точки округления, все они являются эллиптическими.
  • Плоскость целиком состоит из плоских омбилик.
  • Обезьянье седло имеет изолированную точку округления с нулевой гауссовой кривизной в начале координат.

Обобщение[править | править вики-текст]

Пусть M ― гладкое многообразие произвольной размерности n \ge 2 в евклидовом пространстве большей размерности. Тогда в каждой точке x\in M определены n собственных значений \lambda_1, \ldots, \lambda_n пары первой и второй квадратичных форм, заданных на касательном расслоении TM. Точка x\in M называется омбиликой, если в ней набор \lambda_1, \ldots, \lambda_n содержит хотя бы два совпадающих числа. Множество омбилик точек имеет коразмерность 2, т.е. задается на M двумя независимыми уравнениями.[2] Так, омбилические точки на поверхности общего положения изолированы (\dim=2-2=0), а на трёхмерном многообразии общего положения они образуют кривую (\dim=3-2=1).

Литература[править | править вики-текст]

  • Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
  • Фиников С.П. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
  • Фиников С.П. Теория поверхностей, — Любое издание.
  • Porteous I.R. Geometric Differentiation for the intelligence of curves and surfaces — Cambridge University Press, Cambridge, 1994.
  • Struik D. J. Lectures on Classical Differential Geometry, — Addison Wesley Publ. Co., 1950. Reprinted by Dover Publ., Inc., 1988.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Ремизов А.О. Многомерная конструкция Пуанкаре и особенности поднятых полей для неявных дифференциальных уравнений, ― СМФН, 19 (2006), 131–170.
  2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики, ― Любое издание. (Добавление 10. Кратности собственных частот и эллипсоиды, зависящие от параметров).