Точка округления

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Точка округления (круговая точка, омбилическая точка или омбилика; название «омбилика» происходит от латинского «umbilicus» ― «пуп») ― точка на гладкой регулярной поверхности в евклидовом пространстве, в которой нормальные кривизны по всем направлениям равны.

Омбилические точки и сеть линий кривизны поверхности вокруг них. В случае общего положения существуют три топологические различные типа особенности, часто называемые «лимон», «звезда» и «монстар»[1]

.

Свойства[править | править вики-текст]

В точке округления:

Примеры[править | править вики-текст]

Омбилики на трёхосном эллипсоиде

В евклидовом пространстве с метрикой ds^2 = dx^2+dy^2+dx^2:

  • Сфера целиком состоит из эллиптических точек округления.
  • Трёхосный эллипсоид (с попарно различными осями) имеет ровно четыре точки округления, все они эллиптическии и относятся к типу «лимон».
  • Плоскость целиком состоит из плоских омбилик.
  • Обезьянье седло имеет изолированную плоскую омбилику в начале координат.

Гипотеза Каратеодори[править | править вики-текст]

Каратеодори высказал гипотезу, что на любой достаточно гладкой замкнутой выпуклой поверхности M в трёхмерном евклидовом пространстве существуют как минимум две омбилические точки. Эта гипотеза была впоследствии доказана при дополнительном предположении, что поверхность M аналитическая[3][4].

Обобщение[править | править вики-текст]

Пусть M ― гладкое многообразие произвольной размерности n \ge 2 в евклидовом пространстве большей размерности. Тогда в каждой точке x\in M определены n собственных значений \lambda_1, \ldots, \lambda_n пары первой и второй квадратичных форм, заданных на касательном расслоении TM. Точка x\in M называется омбиликой, если в ней набор \lambda_1, \ldots, \lambda_n содержит хотя бы два совпадающих числа. Множество омбилик точек имеет коразмерность 2, т.е. задается на M двумя независимыми уравнениями.[5] Так, омбилические точки на поверхности общего положения изолированы (\dim=2-2=0), а на трёхмерном многообразии общего положения они образуют кривую (\dim=3-2=1).

Литература[править | править вики-текст]

  • Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
  • Фиников С.П. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
  • Фиников С.П. Теория поверхностей, — Любое издание.
  • Porteous I.R. Geometric Differentiation for the intelligence of curves and surfaces — Cambridge University Press, Cambridge, 1994.
  • Struik D. J. Lectures on Classical Differential Geometry, — Addison Wesley Publ. Co., 1950. Reprinted by Dover Publ., Inc., 1988.

Примечания[править | править вики-текст]