Точная верхняя и нижняя границы множеств

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Точная верхняя граница (верхняя грань) и точная нижняя граница (нижняя грань) — обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно.

Используемые определения[править | править вики-текст]

Мажоранта или верхняя грань (граница) множества ~X — число ~a, такое что \forall x\in X \Rightarrow x\leqslant a .
Миноранта или нижняя грань (граница) множества ~X — число ~b, такое что \forall x\in X \Rightarrow x\geqslant b

Определения[править | править вики-текст]

Точной (наименьшей) верхней гранью (границей), или супре́мумом (лат. supremum — самый высокий) подмножества X упорядоченного множества (или класса) M, называется наименьший элемент M, который равен или больше всех элементов множества X. Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается \sup X.

Более формально:

S_X=\{y\in M\mid\forall x\in X\!:x\leqslant y\} — множество верхних граней X, то есть элементов M, равных или больших всех элементов X
s=\sup(X)\iff s\in S_X\and\forall y\in S_X\!:s\leqslant y.

Точной (наибольшей) нижней гранью (границей), или и́нфимумом (лат. infimum — самый низкий, не путать с лат. infinum — бесконечность!) подмножества X упорядоченного множества (или класса) M, называется наибольший элемент M, который равен или меньше всех элементов множества X. Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается \inf X.

Замечание[править | править вики-текст]

Эти определения ничего не говорят о том, принадлежит ли \sup X и \inf X множеству X или нет.

В случае s=\sup X\in X, говорят, что s является максимумом X, то есть s=\max_{x \in X} x.

В случае i=\inf X\in X, говорят, что i является минимумом X, то есть i=\min_{x \in X} x.

Примеры[править | править вики-текст]

  • На множестве всех рациональных чисел, больших пяти, не существует минимума, однако существует инфимум. \inf такого множества равен пяти. Инфимум не является минимумом, так как пять не принадлежит этому множеству. Если же определить множество всех натуральных чисел, больших пяти, то у такого множества есть минимум и он равен шести. Вообще говоря, у любого непустого подмножества множества натуральных чисел существует минимум.
  • Для множества S=\left\{\frac{1}{k}\mid k\in\Bbb N\right\}=\left\{1,\;\frac{1}{2},\;\frac{1}{3},\;\ldots\right\}
\sup S=1; \inf S=0.
  • Множество положительных рациональных чисел \mathbb{Q}_+=\{x\in\mathbb{Q} \mid x>0\} не имеет точной верхней грани в \mathbb{Q}, точная нижняя грань \inf\mathbb{Q}_+=0.
  • Множество X=\{x\in\Bbb Q\mid x^2<2\} рациональных чисел, квадрат которых меньше двух, не имеет точных верхней и нижней граней в \Bbb Q, но если его рассматривать как подмножество множества действительных чисел, то
\sup X=\sqrt{2} и \inf X=-\sqrt{2}.

Теорема о гранях[править | править вики-текст]

Формулировка[править | править вики-текст]

Непустое множество, ограниченное сверху, имеет точную верхнюю грань, ограниченное снизу — точную нижнюю грань. То есть существуют a и b такие, что

b = \sup X \begin{cases}
  \forall x, x \in X \Rightarrow x\leqslant b  \\
  \forall b', b' < b \Rightarrow \exists x, x \in X \and x >  b'  
\end{cases}  (1.1)
a = \inf X \begin{cases}
  \forall x, x \in X \Rightarrow x\geqslant a\\
  \forall a', a' > a \Rightarrow \exists x, x \in X \and x <  a'
\end{cases}  (1.2)

Доказательство[править | править вики-текст]

Для множества ограниченного сверху. Пусть \tilde{b}=\tilde{b}_0, \tilde{b}_1 \dots  \tilde{b}_n \dots   — мажоранта множества ~X, представленная в виде бесконечной десятичной дроби. Множество ~X непусто. Запишем все числа ~x из ~X в виде нормальных десятичных дробей,

~x=x_0,x_1\dots x_m \dots.

Множество ~X_0=\{x_0\mid x_0,x_1\dots x_m \dots \in X\} непусто и ограниченно сверху числом \tilde{b_0}, поэтому существует ~\max X_0=b_0.

Множество ~X_1 десятичных чисел вида ~b_0, b_1' таких, что среди элементов ~X есть число, представление которого в виде бесконечной десятичной дроби начинается с выражения ~b_0, b_1', непусто и состоит не более чем из десяти элементов, поэтому существует ~X_1=b_0,b_1.

Допустим, что для некоторого номера ~m построено десятичное число b_0,b_1\dots b_m такое, что

  1. существует элемент x \in X, представление которого в виде бесконечной десятичной дроби начинается с выражения b_0,b_1\dots b_m
  2. если x — элемент ~X с представлением x = x_0,x_1\dots x_m \dots, то
x_0,x_1\dots x_m\leqslant b_0,b_1\dots b_m .

Обозначим ~X_{m+1} множество десятичных чисел вида b_0,b_1\dots b_m b'_{m+1}, которые служат начальными выражениями для элементов множества ~X. По определению числа b_0,b_1\dots b_m на основании свойства 1 множество ~X_{m+1} непусто. Оно конечно, поэтому существует число b_0,b_1\dots b_m b_{m+1}= \max X_{m+1}, обладающее свойствами 1-2 с заменой ~m на ~m+1, причем появление ~(m+1)-ого знака после запятой не влияет на величины предшествующих знаков.

На основании принципа индукции для любого ~n оказывается определенной цифра ~b_n и поэтому однозначно определяется бесконечная десятичная дробь

b\equiv b_0,b_1 \dots b_n \dots \in \mathbb R

Возьмем произвольное число x \in X, x=x_0,x_1\dots x_n \dots. По построению числа b для любого номера n выполняется x_0,x_1\dots x_n\leqslant b_0,b_1\dots b_n и поэтому x \leqslant b. Следовательно, выполнена верхняя строчка в правой части соотношения 1.1 (смотри формулировку). Следовательно, b= \sup X.

Для множества ~X, ограниченного снизу, рассуждения проводятся аналогично.

Свойства[править | править вики-текст]

  • По теореме о гранях для любого ограниченного сверху подмножества \mathbb{R}, существует \sup.
  • По теореме о гранях для любого ограниченного снизу подмножества \mathbb{R}, существует \inf.
  • Вещественное число s является \sup X тогда и только тогда, когда
    1. s есть верхняя грань X то есть для всех элементов x\in X, x\leqslant s.
    2. для любого \varepsilon>0 найдётся x\in X, такой, что x+\varepsilon > s (то есть к s можно сколь угодно «близко подобраться» из множества X)
  • Аналогичное утверждение верно для точной нижней грани.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Богданов Ю. С., Кастрица О. А., Сыроид Ю. Б. Математический анализ: Учебное пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.- С. 11-14. ISBN 5-238-00500-8
  • Богданов Ю. С. Лекции по математическому анализу. Ч. 1. — Мн.: Издательство БГУ, 1974. — С. 3—8.

Примечания[править | править вики-текст]