Точная последовательность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Точная последовательность — последовательность алгебраических объектов G_i с последовательностью гомоморфизмов \varphi_i\colon G_i\rightarrow G_{i+1}, такая что для любого i образ \varphi_{i-1} совпадает с ядром \varphi_i (если оба гомоморфизма с такими индексами существуют).

В большинстве приложений роль G_{i} играют коммутативные группы, иногда векторные пространство или алгебры над кольцами.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Точные последовательности типа
    0\longrightarrow A \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} B \stackrel{\psi}{\longrightarrow} C \longrightarrow 0
называются короткими точными последовательностями, в этом случае \varphi — мономорфизм, а \psi — эпиморфизм.
  • При этом, если у \varphi есть правый обратный или у \psi левый обратный морфизм, то B можно отождествить с A\oplus C таким образом, что A и C отображаются в A и C тождественным образом. В этом случае короткая точная последовательность называется расщепляющейся.
  • Если \mathrm{Im}\,\varphi_i \subset \mathrm{Ker}\,\varphi_{i+1}, то последовательность называется полуточной.

Примеры[править | править вики-текст]

\ldots \to \pi_n(F) \to \pi_n(M) \to \pi_n(B) \to \pi_{n-1}(F) \to \ldots \to \pi_0(F) \to \pi_0(M) \to \pi_0(B)
\begin{align}
\cdots\rightarrow H_{n+1}(X)\,&\xrightarrow{\partial_*}\,H_{n}(A\cap B)\,\xrightarrow{(i_*,j_*)}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,\xrightarrow{k_* - l_*}\,H_{n}(X)\xrightarrow{\partial_*}\\
&\quad\xrightarrow{\partial_*}\,H_{n-1} (A\cap B)\rightarrow \cdots\rightarrow H_0(A)\oplus H_0(B)\,\xrightarrow{k_* - l_*}\,H_0(X)\rightarrow\,0.
\end{align}
0 \longrightarrow VX  \longrightarrow TE \longrightarrow HX \longrightarrow 0
и двойственная к ней
0 \longleftarrow V^*X \longleftarrow T^*E \longleftarrow H^*X \longleftarrow 0
Здесь TE — касательное расслоение к многообразию E, VX и HX — вертикальное и горизонтальное расслоения к X соответственно. ^* обозначает двойственное расслоение (кокасательное и т. п.).

Литература[править | править вики-текст]

  1. Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971.
  2. Г. А. Сарданашвили Современные методы теории поля. Т.1: Геометрия и классические поля, — М.: УРСС, 1996. — 224 с.