Точный функтор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Точный функтор — функтор, который переводит точные последовательности в точные. Точные функторы удобны для вычислений в гомологической алгебре, поскольку их можно сразу применять к резольвентам объектов. Бо́льшая часть гомологической алгебры была построена для того, чтобы сделать возможной работу с функторами, которые не являются точными, но их отличие от точных поддаётся контролю.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть P и Q — абелевы категории и F: P \to Q — аддитивный функтор. Рассмотрим произвольную короткую точную последовательность:

0 \to A \to B \to C \to 0

объектов P.

Если F — ковариантный функтор, F является:

  • полуточным, если F(A) \to F(B) \to F(C) точна;
  • точным слева, если 0 \to F(A) \to F(B) \to F(C) точна;
  • точным справа, если F(A) \to F(B) \to F(C) \to 0 точна;
  • точным, если 0 \to F(A) \to F(B) \to F(C) \to 0 точна.

Если G — контравариантный функтор из P в Q, G является:

  • полуточным, если G(C) \to G(B) \to G(A) точна;
  • точным слева, если 0 \to G(C) \to G(B) \to G(A) точна;
  • точным справа, если G(C) \to G(B) \to G(A) \to 0 точна;
  • точным, если 0 \to G(C) \to G(B) \to G(A) \to 0 точна.

Не обязательно брать в качестве исходной последовательность именно такого вида; например, точный функтор можно определить как функтор, переводящий точные последовательности вида A \to B \to C в точные последовательности.

Существует ещё одно определение точного функтора: ковариантный функтор точен слева тогда и только тогда, когда он переводит конечные пределы в пределы. При замене слова «ковариантный» на «контравариантный» или «слева» на «справа» нужно одновременно заменить «пределы» на «копределы». Точный функтор — это функтор, точный слева и справа.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Любая эквивалентность абелевых категорий точна.
  • Наиболее важный пример точного слева функтора — функтор Hom. Если \mathcal A — произвольная абелева категория и A — её объект, то \mathrm{Hom}_\mathcal A (A, X) — ковариантный аддитивный функтор в категорию абелевых групп[1]. Этот функтор является точным тогда и только тогда, когда A проективен. Соответственно, контравариантный функтор \mathrm{Hom}_\mathcal A (X, A) точен тогда и только тогда, когда A инъективен.
  • Если T — правый R-модуль, то возможно определить функтор H_T из категории левых R-модулей в \mathbf{Ab} с помощью тензорного произведения над R: H_T(X) = T \otimes X. Этот функтор является точным справа; он точен тогда и только тогда, когда T — плоский модуль.
  • Предыдущие два примера можно обобщить: в любой паре сопряженных аддитивных функторов левый сопряженный точен справа, а правый сопряженный точен слева.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Джекобсон, 2009, Theorem 3.1, p. 98

Литература[править | править вики-текст]

  • Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Факториал Пресс, 2003 — ISBN 5-88688-067-4.
  • Nathan Jacobson Basic algebra. — 2nd. — Dover, 2009. — Т. 2. — ISBN 978-0-486-47187-7.
  • Artin, Michael; Alexandre Grothendieck, Jean-Louis Verdier, eds. (1972). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie — 1963-64 — Théorie des topos et cohomologie étale des schémas — (SGA 4) — vol. 1. Lecture notes in mathematics (in French) 269. Berlin; New York: Springer-Verlag. xix+525. doi:10.1007/BFb0081551. ISBN 978-3-540-05896-0.