Транзитивность

В математике бинарное отношение $R$ на множестве $X$ называется транзитивным, если для любых трёх элементов множества $a, b, c$ выполнение отношений $a R b$ и $b R c$ влечёт выполнение отношения $a R c$ .

Формально, отношение $R$ транзитивно, если $\forall a, b, c \in X,\ a R b \land b R c \Rightarrow a R c$ .

[править] Примеры

Равенство: $a = b$ и $b = c$ , значит $a = c$ (на самом деле, отношение равенства вместе с отношением эквивалентности и параллельности прямых обладает более сильным свойством также ещё и «равенства третьему» по причине своей симметричности)
Отношение порядка: $a > b$ и $b > c$ , значит $a > c$ или нестрогого порядка: $a \geqslant b$ и $b \geqslant c$ , значит $a \geqslant c$
Параллельность прямых: $a | | b$ и $b | | c$ , значит $a | | c$ (см. примечание к «равенству чисел»)
Импликация: $a \Rightarrow b$ и $b \Rightarrow c$ , значит $a \Rightarrow c$
Эквивалентность: $a \Leftrightarrow b$ и $b \Leftrightarrow c$ , значит $a \Leftrightarrow c$ (см. примечание к «равенству чисел»)
Включение подмножества: если b является подмножеством a, и в свою очередь c является подмножеством b, тогда c является подмножеством a
Делимость: если a делится на b, и b делится на c, тогда a делится на c.

Примеры отсутствия транзитивности:

Игра «Камень, ножницы, бумага»: Камень сильнее Ножниц; Ножницы сильнее Бумаги; однако Камень не сильнее Бумаги ( $t R s \land s R p \nRightarrow t R p$ ).
В круговом турнире часто бывает ситуация, когда команда A победила команду B, команда B — команду C, а C — A. Тогда отношение «победа» является нетранзитивным.
Жизненный случай: Вася любит Лену, Лена любит Петю. Из этого не следует, что Вася любит Петю.