Трансцендентное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Трансценде́нтное число́ (от лат. transcendere — переходить, превосходить) — это вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим — иными словами, число, которое не может быть корнем многочлена с рациональными коэффициентами (не равного тождественно нулю).

Свойства[править | править вики-текст]

Примеры[править | править вики-текст]

История[править | править вики-текст]

Впервые понятие трансцендентного числа ввёл Ж. Лиувилль в 1844 году, когда доказал теорему о том, что алгебраическое число невозможно слишком хорошо приблизить рациональной дробью.

В 1873 году Ш. Эрмит доказал трансцендентность числа e, основания натуральных логарифмов.

В 1882 году Линдеман доказал теорему о трансцендентности степени числа e с ненулевым алгебраическим показателем, тем самым доказав трансцендентность числа \!\pi и неразрешимость задачи квадратуры круга.

В 1900 году на II Международном конгрессе математиков Гильберт в числе сформулированных им проблем сформулировал седьмую проблему: «Если a \neq 0, 1, \!a — алгебраическое число, и \!b — алгебраическое, но иррациональное, верно ли, что \!a^b — трансцендентное число?» В частности, является ли трансцендентным число 2^\sqrt 2. Эта проблема была решена в 1934 году Гельфондом, который доказал, что все такие числа действительно являются трансцендентными.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

В теории Галуа рассматривается более общее определение: элемент расширения поля P трансцендентный, если он не является корнем многочлена над P.

Некоторые открытые проблемы[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Proof that e is transcendental
  2. Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.
  3. Weisstein, Eric W. Число π (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  4. Weisstein, Eric W. Мера иррациональности (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература[править | править вики-текст]