Трансцендентное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Трансценде́нтное число́ (от лат. transcendere — переходить, превосходить) — это вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим, иными словами, число, не являющееся корнем многочлена с рациональными коэффициентами.

[править] Свойства

Множество трансцендентных чисел континуально.
Каждое трансцендентное вещественное число является иррациональным, но обратное неверно. Например, число $\sqrt 2$ — иррациональное, но не трансцендентное: оно является корнем многочлена $\!x^2-2$ .

[править] Примеры

Основание натуральных логарифмов $\!e$ ^[1].
Число $\!\pi$ .
Десятичный логарифм любого целого числа, кроме чисел $\!10^n$ ^[2]
$\!\sin a$ , $\!\cos a$ и $\!\mathrm{tg}\,a$ , для любого ненулевого алгебраического числа $\!a$ (по теореме Линдемана — Вейерштрасса).

[править] История

Впервые понятие трансцендентного числа ввёл Ж. Лиувилль в 1844 году, когда доказал теорему о том, что алгебраическое число невозможно слишком хорошо приблизить рациональной дробью. В 1873 году Ш. Эрмит доказал трансцендентность числа e (основания натуральных логарифмов).

В 1882 году Линдеман доказал теорему о трансцендентности степени числа e с ненулевым алгебраическим показателем, тем самым доказав трансцендентность числа $\!\pi$ и неразрешимость задачи квадратуры круга.

В 1900 году на II Международном Конгрессе математиков Гильберт в числе сформулированных им проблем сформулировал седьмую проблему: «Если $a \neq 0$ , $\!a$ — алгебраическое число, и $\!b$ — алгебраическое, но иррациональное, верно ли, что $\!a^b$ — трансцендентное число?» В частности, является ли трансцендентным число $2^\sqrt 2$ . Эта проблема была решена в 1934 году Гельфондом (англ.), который доказал, что все такие числа действительно являются трансцендентными.