Трансцендентное число
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Трансценде́нтное число́ (от лат. transcendere — переходить, превосходить) — это вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим, иными словами, число, не являющееся корнем многочлена с рациональными коэффициентами.
Содержание |
[править] Свойства
- Множество трансцендентных чисел континуально.
- Каждое трансцендентное вещественное число является иррациональным, но обратное неверно. Например, число
— иррациональное, но не трансцендентное: оно является корнем многочлена
.
[править] Примеры
- Основание натуральных логарифмов
[1]. - Число
. - Десятичный логарифм любого целого числа, кроме чисел
[2]
,
и
, для любого ненулевого алгебраического числа
(по теореме Линдемана — Вейерштрасса).
[править] История
Впервые понятие трансцендентного числа ввёл Ж. Лиувилль в 1844 году, когда доказал теорему о том, что алгебраическое число невозможно слишком хорошо приблизить рациональной дробью. В 1873 году Ш. Эрмит доказал трансцендентность числа e (основания натуральных логарифмов).
В 1882 году Линдеман доказал теорему о трансцендентности степени числа e с ненулевым алгебраическим показателем, тем самым доказав трансцендентность числа
и неразрешимость задачи квадратуры круга.
В 1900 году на II Международном Конгрессе математиков Гильберт в числе сформулированных им проблем сформулировал седьмую проблему: «Если
,
— алгебраическое число, и
— алгебраическое, но иррациональное, верно ли, что
— трансцендентное число?» В частности, является ли трансцендентным число
. Эта проблема была решена в 1934 году Гельфондом (англ.), который доказал, что все такие числа действительно являются трансцендентными.
[править] Вариации и обобщения
В теории Галуа рассмотривается более общее определение: элемент расширения поля P трансцендентный, если он не является корнем многочлена над P.
[править] Ссылки
- ↑ Proof that e is transcendental
- ↑ Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.
[править] См. также
[править] Литература
- Фельдман Н., Алгебраические и трансцендентные числа. Квант, № 7, 1983.

