Трапеция

Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого только одна пара противолежащих сторон параллельна. Иногда трапеция определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна (про другую не уточняется), в этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции. В частности, существует понятие криволинейная трапеция.

Связанные определения

Элементы трапеции

• Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
• Две другие стороны называются боковыми сторонами.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
• Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Виды трапеций

Прямоугольная трапеция

Равнобедренная трапеция

• Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой или равнобедренной.
• Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Общие свойства

• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
• Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.
• (Обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
• Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен 2ху/(x+у), где х и у — основания трапеции.(Формула Буракова)
• Cередины оснований трапеции и точка пересечения ее диагоналей лежат на одной прямой.
• Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
• В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Свойства равнобедренной трапеции

• Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.
• Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований.
• В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
• В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
• Если трапецию можно вписать в окружность, то она равнобедренная.
• Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
• Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная и описанная окружность

• Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность.
• Если трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.
• Если в трапецию вписана окружность с радиусом r, и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка a и b, то $r = \sqrt{ab}$.

Площадь

Здесь приведены формулы, свойственные именно трапеции. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.

• В случае, если a и b — основания и h — высота, формула площади:

$S= \frac{(a+b)}{2}h$

• В случае, если m — средняя линия и h — высота, формула площади:

$S= \displaystyle m h$

ɴʙ Эти формулы — одинаковы, так как полусумма основ равняется средней линии трапеции:

$m= \frac{ (a+b) }{2}$

• Формула, где a, b — основания, c и d — боковые стороны трапеции:

$S=\frac{a+b}{2}\sqrt{c^2-\left(\frac{(b-a)^2+c^2-d^2}{2(b-a)}\right)^2}$

• Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности, равным r, и углом при основании α:

$S=\frac{4r^2}{\sin{\alpha}}$

• В частности, если угол при основании равен 30°, то:

$S=\displaystyle 8 r^2$.

См. также

• Параллелограмм