Треугольное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Números triangulares.png

Треугольное число — это число кружков, которые могут быть расставлены в форме правильного треугольника (см. рисунок). Очевидно, с чисто арифметической точки зрения, n-е треугольное число — это сумма n первых натуральных чисел.

Последовательность треугольных чисел ~T_n для n = 0, 1, 2, \ldots начинается так:

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120 … (последовательность A000217 в OEIS)

Свойства[править | править исходный текст]

~T_n+T_{n-1}=n^2.
  • Каждое чётное совершенное число является треугольным.
  • Любое целое неотрицательное число представимо в виде суммы не более трёх треугольных чисел. Утверждение впервые сформулировано в 1638 году Пьером Ферма в письме к Мерсенну, а доказано в 1796 году К. Гауссом.
  • Целое число m является треугольным тогда и только тогда, когда число 8m+1 является квадратным.
  • Рекуррентная фомула для n-го треугольного числа:
~T_n=T_{n-1}+n

Исторический анекдот о Гауссе[править | править исходный текст]

По широко распространённой[1] легенде, школьный учитель Карла Фридриха Гаусса, когда последнему было 10 лет, предложил своим ученикам найти сумму всех натуральных чисел от одного до ста.

Маленький Карл удивил всех, практически мгновенно предложив правильный ответ. Он заметил, что сумма каждой пары слагаемых, одинаково отстоящих от концов ряда натуральных чисел [1, 2, 3, …, 100], равна 101 (1+100, 2+99, 3+98, …, 50+51). А поскольку число таких пар равно 1002, то есть 50, он посчитал в уме, что искомая сумма равна 101 × 50 = 5050.[2][3]

Обобщения[править | править исходный текст]

Треугольные числа являются частным случаем фигурных чисел.

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Versions of the Gauss Schoolroom Anecdote
  2. Идеи гуманитаризации — на каждый урок математики!, 3. Учись учиться. Яковлева Татьяна Петровна, доцент кафедры прикладной математики
  3. Котов А. Я. Глава десятая. §1. Знаменитые математики и вычислители // Вечера занимательной арифметики. — Издание 2-е, исправленное и дополненное. — М.: Просвещение, 1967. — С. 131—132. — 184 с. — 150 000 экз.