Тривиальная топология

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Тривиа́льная тополо́гия в общей топологии — это топология, состоящая лишь из всего пространства и пустого множества. Логичнее, однако, называть эту топологию антидискретной, поскольку и дискретная, и антидискретная топологии — обе довольно тривиальные в общеязыковом смысле этого слова.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть X — произвольное множество. Семейство подмножеств \mathcal{T}=\{X,\varnothing\}, где \varnothing обозначает пустое множество, является топологией. Эта топология называется тривиальной, антидискретной или топологией сли́пшихся точек. Пара (X,\mathcal{T}) называется тривиа́льным (иначе: антидискретным) топологи́ческим простра́нством.

Замечание[править | править вики-текст]

Если множество X содержит более одной точки, то все они топологически неразличимы, так как содержатся в одной единственной окрестности.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Единственными замкнутыми множествами в антидискретном топологическом пространстве являются X и \emptyset.
  • Антидискретная топология обладает единственной базой: \mathcal{B} = \{X\}.
  • Антидискретное топологическое пространство не удовлетворяет большинству аксиом отделимости. В частности, оно не является хаусдорфовым, а следовательно и метризуемым. Однако антидискретное топологическое пространство удовлетворяет аксиомам Т3, T, Т4 ввиду отсутствия в нём тех объектов, для которых надо проверять условия аксиом. Именно поэтому в определения регулярного, вполне регулярного и нормального топологических пространств вводится требование удовлетворять ещё одной аксиоме отделимости: аксиоме Т1.
  • Антидискретное топологическое пространство компактно и паракомпактно.
  • Любая последовательность точек из X сходится к любой точке из того же пространства. В частности антидискретное топологическое пространство секвенциально компактно.
  • Внутренность произвольного собственного подмножества A \subsetneq X пуста.
  • Замыкание произвольного непустого подмножества A \subset X совпадает с X. В частности, любое подмножество антидискретного топологического пространства всюду плотно в X.
  • Два антидискретных топологических пространства гомеоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую мощность.

См. также[править | править вики-текст]