Трилинейные координаты

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Трилинейные координаты тесно связаны с барицентрическими координатами. А именно, если (\alpha:\beta:\gamma) — барицентрические координаты точки X относительно треугольника ABC, а a, b, c — длины его сторон, то

(x:y:z)=\left(\frac{\alpha}{a}:\frac{\beta}{b}:\frac{\gamma}{c}\right)

её трилинейные координаты. Трилинейные координаты, как и барицентрические, определены с точностью до пропорциональности.

Для точки X, лежащей внутри треугольника ABC, в качестве барицентрических координат можно взять площади треугольников (S_{BCX}:S_{CAX}:S_{ABX}). Это означает, что в качестве трилинейных координат можно взять расстояния от точки X до сторон треугольника — абсолютные трилинейные коодинаты. Если точка X лежит вне треугольника, то расстояния до сторон нужно взять с учётом знака. Например, если точки X и A лежат по одну сторону от прямой BC, то x>0, а если по разные, то x<0.

В трилинейных координатах изогональное сопряжение задаётся формулой (x:y:z)\mapsto(x^{-1}:y^{-1}:z^{-1}). В связи с этим трилинейные координаты часто бывают удобны при работе с изогональным сопряжением.

Trilinear coordinates.svg