Трёхгранник Френе

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Репер или трёхгранник Френе или Френе — Серре известный также, как естественный, сопровождающий, сопутствующий — ортонормированный репер в трёхмерном пространстве, возникающий при изучении бирегулярных кривых.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть r(s) — произвольная натурально параметризованная бирегулярная кривая в евклидовом пространстве. Под репером Френе понимают тройку векторов t, n, b, сопоставленную каждой точке бирегулярной кривой r(s), где

Рис. 1. В точке кривой построены векторы касательной (T), главной нормали (N) и бинормали (B). Показана также соприкасающаяся плоскость, содержащая касательную и главную нормаль.

Формулы Френе[править | править вики-текст]

Если s — натуральный параметр вдоль кривой, то векторы {\tau}, {\nu}, {\beta} связаны соотношениями:

 \dot{\tau} = k {\nu},  \quad \dot{\nu}  = - k {\tau} + \kappa{\beta}, \quad \dot{\beta} = - \kappa {\nu},

называемыми формулами Френе. Величины

 k = ||\ddot\gamma (s)||, \quad \kappa = - \langle \dot{\beta},\; {\nu} \rangle

называют, соответственно, кривизной и кручением кривой в данной точке. Уравнения вида k = f(s), \quad \kappa = g(s), где \quad f(s) всюду положительна называются натуральными уравнениями бирегулярной кривой и полностью её определяют.

Скорость и ускорение в осях естественного трёхгранника[править | править вики-текст]

Трёхгранник Френе играет важную роль в кинематике точки при описании её движения в «сопутствующих осях». Пусть материальная точка движется по произвольной бирегулярной кривой. Тогда, очевидно, скорость точки направлена по касательному вектору  {v} = v {\tau} . Дифференцируя по времени находим выражение для ускорения:  {a} = \dot{v} {\tau} +  v^2 k {\nu}. Компоненту при векторе  {\tau} называют тангенциальным ускорением, она характеризует изменение модуля скорости точки. Компоненту при векторе  {\nu} называют нормальным ускорением. Она показывает, как меняется траектория движения точки.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

При описании плоских кривых часто вводят понятие так называемой ориентированной кривизны.

Пусть \gamma(s) — произвольная натурально параметризованная плоская регулярная кривая. Рассмотрим семейство единичных нормалей  {\nu _o}, таких что двойка ({\tau},{\nu _o}) образуют правый базис в каждой точке  \mathbf \gamma(s). Ориентированной кривизной кривой \gamma в точке s называют число k _o = \langle \ddot\gamma (s),\; {\nu _o} \rangle . В сделанных предположениях имеет место следующая система уравнений, называемая формулами Френе для ориентированной кривизны

\dot{\tau} = k _o {\nu _o} \quad \dot{\nu _o} = -k _o {\tau}.

По аналогии с трёхмерным случаем, уравнения вида k _o = f(s) называются натуральными уравнениями плоской регулярной кривой и полностью её определяют.